Mathematik · Klasse 6–8 · aktualisiert
Zylinderoberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Ein Zylinder besteht aus zwei Kreisen und einem Mantel. Du lernst die Oberflächenformel aus dem Netz kennen, rechnest sie sicher und vermeidest typische Fehler.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Oberfläche eines geschlossenen Kreiszylinders besteht aus zwei gleich großen Kreisflächen und dem Mantel, einem abgerollten Rechteck. Deshalb gilt O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h) mit dem Radius r und der Höhe h. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst.
Eine Getränkedose, eine Chipsrolle, ein Rundturm: Wie viel Blech, Pappe oder Farbe steckt in der Hülle? Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus zwei Kreisen und einem gebogenen Mantel zusammen. Rollst du den Mantel ab, wird er zu einem Rechteck. Damit leitest du die Formel her, wendest sie an und prüfst dein Ergebnis.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine geschlossene Getränkedose vor. Ihre Außenfläche hat drei Teile: die kreisförmige Grundfläche unten, die gleich große Deckfläche oben und die gebogene Mantelfläche dazwischen. Für eine Kreisfläche gilt G = \pi r^2. Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Rechteck. Eine Rechteckseite ist die Zylinderhöhe h, die andere ist so lang wie der Umfang des Grundkreises: U = 2\pi r.
Definition
Zylindernetz
Ein Zylindernetz zeigt die ausgebreitete Oberfläche: zwei gleich große Kreise und ein Rechteck. Das Rechteck ist der abgerollte Mantel.
Teste dich
Eine Kreisfläche hat den Flächeninhalt \pi r^2. Grund- und Deckfläche sind gleich groß, zusammen also 2G = 2\pi r^2. Für das Mantelrechteck rechnest du Länge mal Breite, seine Seiten sind 2\pi r und h: M = U \cdot h = 2\pi r h. Nun addierst du beide Kreisflächen und den Mantel: O = 2G + M = 2\pi r^2 + 2\pi r h. Klammerst du 2\pi r aus, erhältst du O = 2\pi r(r + h). Beide Formen liefern dasselbe Ergebnis.
Merke: Zweimal Kreis plus Mantel: O = 2\pi r^2 + 2\pi r h. Die Formel gilt für einen geschlossenen, senkrechten Kreiszylinder.
Teste dich
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor. Prüfe, ob Radius und Höhe dieselbe Längeneinheit haben. Ist der Durchmesser gegeben, bestimme zuerst r = d : 2. Berechne dann eine Kreisfläche und den Mantel, addiere mit O = 2G + M und runde erst am Ende. Das Ergebnis bekommt eine Quadrateinheit.
Beispiel: Zylinder mit r = 3\,\mathrm{cm} und h = 6\,\mathrm{cm}
- 1Eine Kreisfläche: G = \pi \cdot (3\,\mathrm{cm})^2 = 9\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}^2
- 2Mantel: M = 2\pi \cdot 3\,\mathrm{cm} \cdot 6\,\mathrm{cm} = 36\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 113{,}10\,\mathrm{cm}^2
- 3Oberfläche: O = 18\pi\,\mathrm{cm}^2 + 36\pi\,\mathrm{cm}^2 = 54\pi\,\mathrm{cm}^2
- 4Gerundet: O \approx 169{,}65\,\mathrm{cm}^2
Teste dich
Sind r = 40\,\mathrm{mm} und h = 2\,\mathrm{cm} gegeben, darfst du die Werte nicht sofort gemeinsam einsetzen. Wandle zuerst um: 40 mm = 4 cm. Dann ist O = 2\pi \cdot (4\,\mathrm{cm})^2 + 2\pi \cdot 4\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 48\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 150{,}80\,\mathrm{cm}^2. Typische Fehler sind: nur eine Kreisfläche addieren, den Durchmesser als Radius einsetzen, 2\pi r^2 statt 2\pi r als Umfang nehmen, Einheiten mischen, eine Längeneinheit angeben und zu früh runden. Übrigens: Die Volumenformel V = \pi r^2 h beantwortet eine andere Frage, nämlich die nach dem Rauminhalt.
Beispiel: Durchmesser d = 10\,\mathrm{cm}, Höhe h = 5\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r = 10 cm : 2 = 5 cm
- 2O = 2\pi \cdot (5\,\mathrm{cm})^2 + 2\pi \cdot 5\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm}
- 3O = 50\pi\,\mathrm{cm}^2 + 50\pi\,\mathrm{cm}^2 = 100\pi\,\mathrm{cm}^2
- 4Gerundet: O \approx 314{,}16\,\mathrm{cm}^2
Merke: Vor dem Einsetzen: Radius statt Durchmesser, gleiche Einheiten. Nach dem Rechnen: drei Teilflächen, Quadrateinheit, erst am Ende runden.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Oberfläche Zylinder
Grundfläche
G = \pi r^2, die Deckfläche ist genauso groß
Mantel
Rechteck mit den Seiten 2\pi r und h
Gesamtformel
O = 2\pi r^2 + 2\pi r h
Vorbereitung
Einheiten angleichen, bei Durchmesser r = d : 2
Kontrolle
drei Teilflächen, Quadrateinheit, erst am Ende runden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Konservendose: Durchmesser 7 cm, Höhe 11 cm
- 1Radius: r = 7 cm : 2 = 3,5 cm
- 2Zwei Kreise: 2G = 2\pi \cdot (3{,}5\,\mathrm{cm})^2 = 24{,}5\pi\,\mathrm{cm}^2
- 3Mantel: M = 2\pi \cdot 3{,}5\,\mathrm{cm} \cdot 11\,\mathrm{cm} = 77\pi\,\mathrm{cm}^2
- 4Oberfläche: O = 24{,}5\pi\,\mathrm{cm}^2 + 77\pi\,\mathrm{cm}^2 = 101{,}5\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 318{,}87\,\mathrm{cm}^2
- 5Das Etikett ist nur der Mantel: 77\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 241{,}90\,\mathrm{cm}^2
Fehler finden
Zylinder mit Durchmesser d = 8\,\mathrm{cm} und Höhe h = 10\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Durchmesser wurde als Radius eingesetzt. Richtig ist r = 8 cm : 2 = 4 cm. Dann ist O = 32\pi\,\mathrm{cm}^2 + 80\pi\,\mathrm{cm}^2 = 112\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 351{,}86\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ist der Durchmesser gegeben, erhältst du den , indem du ihn durch teilst. Die Zylinderoberfläche wird in einer angegeben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback