Mathematik · Klasse 8–12 · aktualisiert
Mengenlehre: Mengen verstehen und verknüpfen
Mengen fassen Elemente zusammen. Du lernst, Mengen zu beschreiben, Teilmengen zu prüfen, Mengen zu verknüpfen und Potenzmengen zu zählen.
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Kurz gesagt
Eine Menge fasst eindeutig bestimmte Objekte zusammen, ihre Elemente, etwa A=\{2,3,4\}. Mit \in prüfst du, ob ein Objekt Element ist, mit \subseteq, ob eine Menge Teilmenge ist. A\cap B enthält, was in beiden Mengen liegt, A\cup B, was in mindestens einer liegt.
Eine Menge fasst eindeutig bestimmte Objekte zusammen. Diese Objekte heißen Elemente. Du kannst Mengen aufzählen, durch Eigenschaften beschreiben und mit Schnitt, Vereinigung oder Differenz verknüpfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du sortierst Zahlen nach einer klaren Regel. Die Menge A=\{2,3,4,5,6,7\} enthält genau die aufgezählten Zahlen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und ein Element wird nicht mehrfach gezählt. Deshalb beschreiben \{2,3,4\} und \{4,2,3,3\} dieselbe Menge. Eine Menge lässt sich auf zwei Arten notieren: aufzählend als A=\{2,3,4,5,6,7\} oder beschreibend als A=\{x\mid x\text{ ist ganz, größer als 1 und kleiner als 8}\}. Der senkrechte Strich \mid bedeutet „für die gilt“. Die Eigenschaft muss eindeutig entscheiden, ob ein Objekt dazugehört.
Definition
Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung eindeutig bestimmter, voneinander unterscheidbarer Objekte. Die Objekte heißen Elemente der Menge.
Beispiel: Die geraden Zahlen aus A
- 1Prüfe die Zahlen 2 bis 7 auf die Eigenschaft „gerade“.
- 2Übrig bleiben 2, 4 und 6.
- 3Aufzählend: G=\{2,4,6\}
- 4Beschreibend: G=\{x\in A\mid x\text{ ist gerade}\}
Teste dich
Mit \in prüfst du, ob ein einzelnes Objekt Element einer Menge ist. Für A=\{2,3,4,5,6,7\} gilt 3\in A, aber 9\notin A. Die Mächtigkeit |A| gibt bei einer endlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente an, hier |A|=6. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Mit \subseteq vergleichst du zwei Mengen: Für G=\{2,4,6\} gilt G\subseteq A. Jede Menge ist Teilmenge ihrer selbst, also A\subseteq A, und auch \varnothing\subseteq A gilt. Die Schreibweise für echte Teilmengen ist nicht überall einheitlich. Soll B echt kleiner sein, schreibst du eindeutig B\subseteq A und B\ne A.
Definition
Teilmenge
B ist eine Teilmenge von A, geschrieben B\subseteq A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist.
Beispiel: Sind B=\{2,4\} und C=\{2,8\} Teilmengen von A?
- 1B: 2 und 4 liegen beide in A, also gilt B\subseteq A.
- 2C: 2 liegt in A, aber 8\notin A.
- 3Also ist C keine Teilmenge von A. Ein Gegenbeispiel reicht.
Merke: Die leere Menge \varnothing enthält kein Element und hat die Mächtigkeit 0. Sie ist nicht die Zahl 0. Die Menge \{0\} hat die Mächtigkeit 1, denn die Zahl 0 ist ihr Element.
Teste dich
Mit Mengenoperationen beantwortest du drei verschiedene Fragen: Was liegt in beiden Mengen? Was liegt in mindestens einer? Was bleibt von der ersten Menge übrig? In der Tabelle sind A=\{2,3,4,5,6,7\} und C=\{5,6,7,8,9\}. Bei der Vereinigung schreibst du doppelte Elemente nur einmal.
| Operation | Zeichen | Enthält | Für A und C |
|---|---|---|---|
| Schnittmenge | A\cap C | Elemente in A und in C | \{5,6,7\} |
| Vereinigungsmenge | A\cup C | Elemente in A oder in C oder in beiden | \{2,3,4,5,6,7,8,9\} |
| Differenzmenge | A\setminus C | Elemente in A, aber nicht in C | \{2,3,4\} |
Beispiel: Alle drei Operationen für P=\{1,2,3,4\} und Q=\{3,4,5\}
- 1Gemeinsam sind 3 und 4: P\cap Q=\{3,4\}
- 2In mindestens einer Menge liegen 1 bis 5: P\cup Q=\{1,2,3,4,5\}
- 3Nur in P liegen 1 und 2: P\setminus Q=\{1,2\}
Merke: Bei der Differenz zählt die Reihenfolge: A\setminus C=\{2,3,4\}, aber C\setminus A=\{8,9\}. Die Leitwörter sind und, oder und aber nicht.
Teste dich
Manchmal interessieren nicht die Elemente einer Menge, sondern alle Möglichkeiten, daraus Teilmengen zu bilden. Für eine endliche Menge mit n Elementen gilt: |\mathcal P(M)|=2^n Hat M drei Elemente, besitzt die Potenzmenge also 2^3=8 Elemente.
Definition
Potenzmenge
Die Potenzmenge \mathcal P(M) ist die Menge aller Teilmengen von M. Sie enthält immer \varnothing und M selbst.
Beispiel: Potenzmenge von M=\{a,b\}
- 1\mathcal P(M)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}
- 2Jedes Element wird gewählt oder nicht gewählt: 2\cdot2=2^2=4 Teilmengen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mengenlehre
Beschreiben
aufzählen oder Eigenschaft angeben
Vergleichen
Zugehörigkeit, Gleichheit und Teilmenge prüfen
Verknüpfen
Schnitt, Vereinigung und Differenz bilden
Zählen
Mächtigkeit und Potenzmenge bestimmen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Die Menge T der Teiler von 12 untersuchen
- 1Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6 und 12
- 2Aufzählend: T=\{1,2,3,4,6,12\}
- 3Mächtigkeit: |T|=6
- 4\{2,3\}\subseteq T, denn 2 und 3 teilen 12.
- 5\{2,5\} ist keine Teilmenge von T, denn 5\notin T.
Fehler finden
A\setminus B für A=\{1,3,5,7,9\} und B=\{3,6,9\} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier wurde aus B gestrichen, das ergibt B\setminus A. Bei A\setminus B startest du mit A und streichst 3 und 9: A\setminus B=\{1,5,7\}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für M=\{0,2,4\} gilt: Die Zahl 0 ist von M. Die Menge M hat die Mächtigkeit . Ihre Potenzmenge hat Elemente.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback