Mathematik · Klasse 8–10 · aktualisiert
Permutationen: mit und ohne Wiederholung
Wie viele Reihenfolgen gibt es für alle Objekte? Du lernst, Permutationen zu erkennen und mit und ohne Wiederholung zu berechnen.
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Kurz gesagt
Eine Permutation ist eine Anordnung aller vorhandenen Objekte, bei der die Reihenfolge zählt. Sind alle n Objekte verschieden, gibt es n! Anordnungen, zum Beispiel 5! = 120. Sind manche Objekte gleich, teilst du durch die Fakultäten ihrer Häufigkeiten: \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots}.
Vier Freundinnen wollen ein Foto in einer Reihe machen. Wie viele verschiedene Aufstellungen gibt es? Genau das zählt eine Permutation: alle Objekte, jede mögliche Reihenfolge. Sind alle Objekte verschieden, rechnest du mit n!. Bei gleichen Objekten musst du doppelt Gezähltes wieder herausteilen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Situation ist eine Permutation, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: Alle vorhandenen Objekte werden verwendet, und die Reihenfolge ist wichtig. Stellen sich vier verschiedene Personen für ein Foto in einer Reihe auf, sind alle vier dabei. Eine andere Reihenfolge ergibt ein anderes Foto. Das ist also eine Permutation. Das Wort Wiederholung hat hier eine besondere Bedeutung: Einige der vorhandenen Objekte sind gleich und lassen sich nicht unterscheiden. Es geht nicht um wiederholtes Ziehen mit Zurücklegen.
Definition
Permutation
Eine Permutation ist eine Anordnung aller vorhandenen Objekte in einer bestimmten Reihenfolge.
| Situation | Alle Objekte? | Reihenfolge wichtig? | Name |
|---|---|---|---|
| 5 Bücher komplett ins Regal stellen | ja | ja | Permutation |
| 3 von 10 Büchern nebeneinanderstellen | nein | ja | Variation |
| 2 von 5 Personen ins Team wählen | nein | nein | Kombination |
Teste dich
Sind alle n Objekte unterscheidbar, hast du für den ersten Platz n Möglichkeiten. Für den zweiten Platz bleiben n - 1, danach n - 2 Möglichkeiten und so weiter bis zum letzten Platz. Die Anzahl ist deshalb P = n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1. Das Zeichen ! heißt Fakultät. So gilt zum Beispiel 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 und 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.
Beispiel: Fünf verschiedene Bücher im Regal
- 1Alle 5 Bücher, Reihenfolge zählt, alle verschieden: Permutation ohne Wiederholung
- 2Platz 1: 5 Möglichkeiten, dann 4, dann 3, dann 2, dann 1
- 3P = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
- 4Es gibt 120 verschiedene Regalreihenfolgen.
Merke: Sind alle Objekte verschieden, gilt: Anzahl der Permutationen = n!.
Teste dich
Bei gleichen Objekten zählt n! manche Anordnung mehrfach. Vertauschst du zwei gleiche Objekte, siehst du keinen Unterschied. Kommen Gruppen gleicher Objekte mit den Häufigkeiten k_1, k_2, \ldots, k_s vor, gilt: P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_s!} Dabei ist n die Gesamtzahl aller Objekte. Im Nenner steht für jede Gruppe gleicher Objekte die Fakultät ihrer Häufigkeit. Einzelne Objekte darfst du als 1! mitschreiben. Da 1! = 1 ist, ändert das nichts.
Beispiel: Die Buchstaben von MAMA anordnen
- 14 Buchstaben: M zweimal, A zweimal
- 24! = 24 würde Vertauschungen der beiden M und der beiden A mitzählen.
- 3P = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6
- 4Die 6 Anordnungen: AAMM, AMAM, AMMA, MAAM, MAMA, MMAA
Beispiel: Acht Bauklötze in einer Reihe
- 14 gleiche rote, 3 gleiche gelbe, 1 blauer Klotz: n = 8
- 2P = \frac{8!}{4! \cdot 3! \cdot 1!} = \frac{40.320}{24 \cdot 6} = 280
- 3Es gibt 280 sichtbar verschiedene Reihenfolgen.
Merke: Suche vor dem Rechnen nach gleichen Objekten. Nur wenn alle Objekte unterscheidbar sind, genügt n!. Zählst du einzelne Objekte mit der Häufigkeit 1 mit, ergeben alle Häufigkeiten zusammen n.
Teste dich
Gehe in dieser Reihenfolge vor: Prüfe, ob alle Objekte verwendet werden. Prüfe, ob eine andere Reihenfolge als neues Ergebnis zählt. Zähle die Objekte und bestimme n. Suche nach gleichen Objekten und notiere ihre Häufigkeiten. Wähle dann die Formel, rechne und schreib das Ergebnis als Antwortsatz. Werden nur einige Objekte ausgewählt und angeordnet, ist es eine Variation. Werden nur einige ausgewählt und ist die Reihenfolge egal, ist es eine Kombination. Bei kleinen Zahlen kannst du dein Ergebnis mit einer geordneten Liste prüfen.
Beispiel: Alle Anordnungen von A, B und C auflisten
- 1Mit A vorne: ABC, ACB
- 2Mit B vorne: BAC, BCA
- 3Mit C vorne: CAB, CBA
- 4Jeder Buchstabe steht einmal vorne, die anderen zwei in beiden Reihenfolgen.
- 5Das bestätigt 3! = 6.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Permutation
Voraussetzung
Alle Objekte werden verwendet, und die Reihenfolge zählt
Ohne Wiederholung
Alle verschieden, also P = n!
Mit Wiederholung
Durch die Fakultäten der gleichen Gruppen teilen
Begründung
Vertauschte gleiche Objekte ergeben nichts Neues
Abgrenzung
Nur einige Objekte heißt Variation oder Kombination
Kontrolle
Die Häufigkeiten ergeben zusammen n
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie viele Anordnungen hat das Wort BANANE?
- 1Alle 6 Buchstaben werden angeordnet, die Reihenfolge zählt: Permutation
- 2Gleiche Buchstaben: A zweimal, N zweimal, B und E je einmal
- 3Kontrolle: 2 + 2 + 1 + 1 = 6
- 4P = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 2} = 180
- 5Es gibt 180 unterschiedliche Anordnungen.
Fehler finden
3 gleiche rote und 2 gleiche blaue Kugeln in einer Reihe In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die gleichfarbigen Kugeln wurden übersehen: Ihr Vertauschen ergibt keine neue Reihe. Richtig ist P = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer Permutation werden Objekte angeordnet. Sind alle Objekte verschieden, gibt es Anordnungen. Bei gleichen Objekten wird durch die Fakultäten ihrer geteilt.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback