Mathematik · Klasse 8–12 · aktualisiert
Teilmenge einfach erklärt: Regeln und Beispiele
Eine Teilmenge liegt ganz in einer anderen Menge. Du lernst, Teilmengen zu prüfen, echte Teilmengen zu erkennen und die Potenzmenge zu bilden.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Menge A ist eine Teilmenge von B, geschrieben A \subseteq B, wenn jedes Element von A auch in B liegt. Beispiel: \{2,3\} \subseteq \{1,2,3\}. Gilt zusätzlich A \ne B, heißt A echte Teilmenge von B, geschrieben A \subsetneq B.
Eine Menge A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B vorkommt. Du prüfst also die Elemente von A einzeln. Schon ein fehlendes Element widerlegt die Teilmengenbeziehung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Gehe beim Prüfen so vor: Beginne mit der möglichen Teilmenge A. Suche jedes Element von A in B. Sind alle enthalten, gilt A \subseteq B. Fehlt mindestens ein Element, gilt A \nsubseteq B.
Definition
Teilmenge
A heißt Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Man schreibt A \subseteq B.
Beispiel: Ist A=\{2,3,5\} eine Teilmenge von B=\{1,2,3,5,7\}?
- 12 \in B, 3 \in B und 5 \in B
- 2Alle Elemente von A liegen in B: A \subseteq B.
- 3Umgekehrt: 1 \in B, aber 1 \notin A.
- 4Also gilt B \nsubseteq A.
Merke: Für eine Widerlegung genügt ein Gegenbeispiel: Findest du ein Element aus A, das nicht in B liegt, ist A keine Teilmenge von B.
Teste dich
Gilt A \subseteq B, gibt es zwei Fälle: Ist A=B, ist A eine Teilmenge, aber keine echte Teilmenge. Ist A\ne B, ist A eine echte Teilmenge. Das Zeichen \subset wird nicht überall gleich verwendet. Es kann eine beliebige oder nur eine echte Teilmenge bedeuten. Mit \subseteq und \subsetneq vermeidest du diese Unklarheit.
Definition
Echte Teilmenge
A ist eine echte Teilmenge von B, wenn A \subseteq B gilt und beide Mengen nicht gleich sind. Man schreibt eindeutig A \subsetneq B.
Beispiel: Echte Teilmenge oder gleiche Menge?
- 1A=\{3,4\} und B=\{3,4,5\}
- 2Alle Elemente von A liegen in B, und B hat zusätzlich die 5: A \subsetneq B.
- 3C=\{3,4,5\} hat genau die Elemente von B: C=B.
- 4Also ist C eine Teilmenge von B, aber keine echte.
Teste dich
Einige Teilmengenbeziehungen gelten unabhängig von den konkreten Elementen. Die Tabelle zeigt die wichtigsten. Zwei ungleiche Mengen müssen nicht unvergleichbar sein: Ist eine echte Teilmenge der anderen, sind sie ungleich und trotzdem vergleichbar. Unvergleichbar sind sie erst, wenn keine der beiden eine Teilmenge der anderen ist.
| Regel | In Zeichen |
|---|---|
| Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. | \varnothing \subseteq A |
| Jede Menge ist Teilmenge ihrer selbst. | A \subseteq A |
| Gegenseitige Inklusion heißt Gleichheit. | Aus A \subseteq B und B \subseteq A folgt A=B. |
| Transitivität | Aus A \subseteq B und B \subseteq C folgt A \subseteq C. |
| Schnitt und Vereinigung | A \cap B \subseteq A und A \subseteq A \cup B |
Beispiel: Transitivität an einem Beispiel
- 1A=\{2\}, B=\{2,4\} und C=\{1,2,3,4\}
- 2Es gilt A \subseteq B und B \subseteq C.
- 3Mit der Transitivität folgt A \subseteq C.
Teste dich
Die Potenzmenge sammelt alle Teilmengen einer Menge. Für eine endliche Menge mit n Elementen gilt |\mathcal P(A)|=2^n. Der Grund: Bei jedem Element gibt es zwei unabhängige Entscheidungen — aufnehmen oder nicht aufnehmen. Für drei Elemente entstehen deshalb 2^3=8 Teilmengen.
Definition
Potenzmenge
Die Potenzmenge \mathcal P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A. Zu ihr gehören immer die leere Menge \varnothing und die gesamte Menge A.
Beispiel: Potenzmenge von A=\{1,2\}
- 1kein Element: \varnothing
- 2nur 1: \{1\}
- 3nur 2: \{2\}
- 4beide: \{1,2\}
- 5\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} mit 2^2=4 Elementen
Merke: Verwechsle Element und Teilmenge nicht: Ist 1\in A, dann ist 1 ein Element. Dagegen ist \{1\} eine Menge mit einem Element, und es gilt \{1\}\subseteq A.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Teilmenge
Prüfen
jedes Element von A in B suchen, ein fehlendes Element ist ein Gegenbeispiel
Unterscheiden
echte Teilmenge oder gleiche Menge
Gleichheit
Inklusion in beide Richtungen
Regeln
leere Menge, Selbstinklusion, Transitivität
Potenzmenge
jedes Element aufnehmen oder auslassen, 2^n Teilmengen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Drei Mengen untersuchen
- 1A=\{1,2,3,5,6\}, B=\{2,3,5\}, C=\{1,2,3,5,7\}
- 22, 3 und 5 liegen in A: B \subseteq A.
- 3B liegt in C, und C hat zusätzlich 1 und 7: B \subsetneq C.
- 46 \in A, aber 6 \notin C: A \nsubseteq C.
- 57 \in C, aber 7 \notin A: C \nsubseteq A.
- 6Keine liegt in der anderen: A und C sind unvergleichbar.
Fehler finden
Ist A=\{1,4,6\} eine Teilmenge von B=\{1,2,4,8\}? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Du musst jedes Element von A prüfen, auch die 6. Es gilt 6 \notin B, also ist 6 ein Gegenbeispiel: A \nsubseteq B.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zum Prüfen von A \subseteq B untersuchst du . Ein fehlendes Element ist ein . Haben zwei Mengen genau dieselben Elemente, sind sie .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback