Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Steigung in Prozent berechnen – einfach erklärt
Du lernst, Steigung und Gefälle in Prozent aus Höhenunterschied und waagerechter Entfernung zu berechnen und fehlende Strecken zu bestimmen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Steigung in Prozent ist der Höhenunterschied geteilt durch die waagerechte Entfernung, mal 100: p=\frac{h}{a}\cdot100. Steigt eine Straße auf 300 m waagerechter Entfernung um 15 m, hat sie \frac{15}{300}\cdot100=5, also 5 % Steigung. Ein Gefälle bekommt ein negatives Vorzeichen.
Eine Steigung in Prozent beschreibt, wie stark sich die Höhe im Verhältnis zur waagerechten Entfernung ändert. Du teilst den Höhenunterschied durch die waagerechte Entfernung und multiplizierst das Ergebnis mit 100.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Straße vor, die auf 100 m waagerechter Entfernung um 12 m ansteigt. Ihre Steigung beträgt 12 %. Die tatsächlich befahrene schräge Strecke ist dabei etwas länger als 100 m. Das Vorzeichen zeigt die Richtung: Ein positiver Wert bedeutet Anstieg, ein negativer Wert Gefälle, 0 % eine waagerechte Strecke.
Definition
Prozentsteigung
Die Prozentsteigung ist das Verhältnis aus dem Höhenunterschied h und der waagerechten Entfernung a, ausgedrückt in Prozent: p=\frac{h}{a}\cdot100 Dabei bezeichnet p die Steigung in Prozent. Wenn die Richtung eine Rolle spielt, berechnest du h als Zielhöhe minus Starthöhe: bergauf ist h positiv, bergab negativ.
Merke: Die Prozentangabe bezieht sich immer auf die waagerechte Entfernung, nicht auf die schräge Straße oder den tatsächlich zurückgelegten Weg.
Teste dich
Du brauchst zwei Größen in derselben Einheit: den Höhenunterschied h und die waagerechte Entfernung a. Teile h durch a und multipliziere mit 100. Kennst du nur Start- und Zielhöhe, rechnest du in Bewegungsrichtung Zielhöhe minus Starthöhe.
Beispiel: 15 m Höhe auf 300 m waagerechter Entfernung
- 1h=15\,\mathrm{m}, a=300\,\mathrm{m}
- 2p=\frac{15}{300}\cdot100=5
- 3Die Steigung beträgt 5 %: 5 m Höhe je 100 m waagerecht.
Beispiel: Von 120 m auf 150 m Höhe bei 400 m waagerechter Entfernung
- 1h=150\,\mathrm{m}-120\,\mathrm{m}=30\,\mathrm{m}
- 2p=\frac{30}{400}\cdot100=7{,}5
- 3Die Strecke steigt mit 7,5 %.
Teste dich
Du kannst die Grundformel nach der gesuchten Größe umstellen. Für den Höhenunterschied gilt h=\frac{p}{100}\cdot a. Für die waagerechte Entfernung gilt bei p\neq0: a=\frac{h\cdot100}{p}.
Beispiel: 250 m waagerecht bei 8 % Steigung: Wie hoch geht es?
- 1h=\frac{8}{100}\cdot250\,\mathrm{m}=20\,\mathrm{m}
- 2Der Höhenunterschied beträgt 20 m.
Beispiel: 12 m Höhe bei 6 % Steigung: Wie weit ist es waagerecht?
- 1a=\frac{12\,\mathrm{m}\cdot100}{6}=200\,\mathrm{m}
- 2Die waagerechte Entfernung beträgt 200 m.
Teste dich
Eine Prozentsteigung ist kein Winkel. Den Steigungswinkel \alpha bestimmst du mit dem Tangens: \alpha=\arctan\left(\frac{p}{100}\right), umgekehrt gilt p=\tan(\alpha)\cdot100. Steigung und Winkel wachsen nicht proportional: Doppelte Prozente bedeuten nicht den doppelten Winkel. Die schräge Länge s ist der tatsächlich zurückgelegte Weg. Mit dem Satz des Pythagoras gilt s=\sqrt{a^2+h^2}. Typische Fehler: die schräge Weglänge für a einsetzen, Zähler und Nenner vertauschen, Kilometer und Meter mischen, die Zielhöhe statt der Höhenänderung nehmen und Prozent mit Grad verwechseln.
| Steigung | Steigungswinkel |
|---|---|
| 10 % | etwa 5,7° |
| 100 % | 45° |
| 200 % | etwa 63,4° |
| senkrecht | 90°, kein endlicher Prozentwert |
Beispiel: 10 % Steigung auf 500 m waagerechter Entfernung
- 1h=\frac{10}{100}\cdot500\,\mathrm{m}=50\,\mathrm{m}
- 2s=\sqrt{(500\,\mathrm{m})^2+(50\,\mathrm{m})^2}\approx502{,}49\,\mathrm{m}
- 3Der Weg ist nur knapp 2,5 m länger als die waagerechte Entfernung.
Merke: Die Prozentangabe bezieht sich auf die waagerechte Entfernung. Bei kleinen Steigungen liegen schräge und waagerechte Strecke nah beieinander, für eine exakte Rechnung musst du sie trotzdem unterscheiden.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Steigung in Prozent
Bedeutung
Höhenänderung je 100 m waagerechter Entfernung, plus für Anstieg, minus für Gefälle
Berechnung
p=\frac{h}{a}\cdot100, beide Strecken in derselben Einheit
Umstellen
h=\frac{p}{100}\cdot a und a=\frac{h\cdot100}{p}
Abgrenzung
Prozent ist kein Winkel, 100 % entsprechen 45°
Kontrolle
waagerechte statt schräge Strecke einsetzen und das Ergebnis deuten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Radweg von 480 m auf 435 m Höhe, waagerecht 900 m
- 1Höhenänderung: h=435\,\mathrm{m}-480\,\mathrm{m}=-45\,\mathrm{m}
- 2p=\frac{-45}{900}\cdot100=-5
- 3Der Weg hat −5 % Steigung, also 5 % Gefälle.
- 4Kontrolle: Auf 100 m waagerecht geht es 5 m bergab, auf 900 m also 9\cdot5\,\mathrm{m}=45\,\mathrm{m}.
Fehler finden
Eine Straße steigt um 60 m auf 1,2 km waagerechter Entfernung In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Einheiten wurden gemischt. Erst umrechnen: 1{,}2\,\mathrm{km}=1200\,\mathrm{m}, dann p=\frac{60}{1200}\cdot100=5, also 5 %.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Prozentsteigung teilst du den durch die und multiplizierst mit . Vor dem Rechnen müssen beide Streckenangaben dieselbe Einheit besitzen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback