Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Steigung berechnen: Formel und Steigungsdreieck
Du lernst, die Steigung einer Geraden aus der Gleichung, aus zwei Punkten und aus einem Steigungsdreieck zu bestimmen und zu deuten.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Steigung m gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 wächst. In y=mx+b ist sie der Faktor vor x. Aus zwei Punkten berechnest du sie mit m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, für P(3|3) und Q(6|5) also m=\frac{5-3}{6-3}=\frac{2}{3}.
Die Steigung m beschreibt, wie stark sich der y-Wert verändert, wenn du nach rechts gehst. Du kannst sie aus einer Geradengleichung ablesen oder mit m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} berechnen. Dabei bedeutet \Delta jeweils „Änderung“.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine lineare Funktion hat die Form y=mx+b Die Zahl m vor dem x ist die Steigung. Die Zahl b gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Für die Steigung brauchst du b nicht.
Definition
Steigung
Die Steigung m einer Geraden gibt an, um wie viel sich der y-Wert ändert, wenn der x-Wert um 1 wächst. Allgemein ist m=\frac{\Delta y}{\Delta x}, wobei \Delta „Änderung“ bedeutet.
Beispiel: Steigung ablesen
- 1y=2x+1: m=2, pro Schritt nach rechts geht es 2 nach oben.
- 2y=-1{,}5x+4: m=-1{,}5, pro Schritt nach rechts geht es 1,5 nach unten.
Merke: Der Faktor direkt vor x ist die Steigung. Steht dort nur x, ist m=1. Steht dort -x, ist m=-1.
Teste dich
Sind P(x_1|y_1) und Q(x_2|y_2) zwei verschiedene Punkte derselben Geraden, gehst du in drei Schritten vor: Berechne die Änderung der y-Werte \Delta y=y_2-y_1. Berechne in derselben Reihenfolge die Änderung der x-Werte \Delta x=x_2-x_1. Teile dann: m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} Du darfst die Punkte vertauschen, musst dann aber oben und unten dieselbe Reihenfolge nehmen. Beide Differenzen wechseln ihr Vorzeichen, der Bruch bleibt gleich.
Beispiel: Steigung durch P(3|3) und Q(6|5)
- 1\Delta y=5-3=2
- 2\Delta x=6-3=3
- 3m=\frac{2}{3}
- 4Drei Einheiten nach rechts, zwei nach oben.
Merke: Oben die y-Werte, unten die x-Werte, und zwar beide Male in derselben Punktreihenfolge.
Teste dich
Ein Steigungsdreieck zeigt dieselben Änderungen wie die Punktformel. Du gehst von einem Punkt der Geraden nach rechts und dann senkrecht bis zur Geraden zurück. Die waagrechte Seite ist \Delta x, die senkrechte Seite ist \Delta y. Geht es nach oben, ist \Delta y positiv, geht es nach unten, ist \Delta y negativ. Verschieden große Steigungsdreiecke an derselben Geraden ergeben dieselbe Steigung.
| Bewegung im Dreieck | Steigung |
|---|---|
| 3 nach rechts, 2 nach oben | m=\frac{2}{3} |
| 3 nach rechts, 2 nach unten | m=-\frac{2}{3} |
Merke: Beim Steigungsbruch beschreibt der Nenner die Bewegung nach rechts. Der Zähler beschreibt die Bewegung nach oben oder unten.
Teste dich
Am Vorzeichen erkennst du die Richtung der Geraden, wenn du sie von links nach rechts liest: Bei m>0 steigt sie, bei m<0 fällt sie, bei m=0 verläuft sie waagrecht. Eine senkrechte Gerade hat keine definierte Steigung: Für zwei Punkte auf ihr wäre \Delta x=0, und durch null darfst du nicht teilen.
Beispiel: Steigung durch A(1|4) und B(5|-2)
- 1\Delta y=-2-4=-6
- 2\Delta x=5-1=4
- 3m=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}
- 4Das negative Vorzeichen passt: Die Gerade fällt nach rechts.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Steigung berechnen
Bedeutung
Änderung von y im Verhältnis zur Änderung von x
Geradengleichung
Faktor vor x
Zwei Punkte
\Delta y durch \Delta x
Graph
Steigungsdreieck auswerten
Vorzeichen
steigend, fallend oder waagrecht
Sonderfall
senkrechte Gerade ohne definierte Steigung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Steigung der Geraden durch A(-1|5) und B(3|-3)
- 1\Delta y=-3-5=-8
- 2\Delta x=3-(-1)=4
- 3m=\frac{-8}{4}=-2
- 4Kontrolle: B liegt rechts unterhalb von A, die Gerade fällt, m<0 passt.
Fehler finden
Steigung durch P(2|1) und Q(5|7) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Im Nenner wurde die Reihenfolge gewechselt. Rechne wie im Zähler zweiter minus erster Punkt: \Delta x=5-2=3, also m=\frac{6}{3}=2. Die Gerade steigt.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Berechnen aus zwei Punkten steht die Änderung der im Zähler. Die Änderung der steht im Nenner. Beide Differenzen werden in gebildet.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback