Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Seitenhalbierende: Konstruktion und Schwerpunkt
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite. Du lernst, sie zu konstruieren, und warum sie die Dreiecksfläche halbiert.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Seitenhalbierende ist die Strecke von einem Eckpunkt eines Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, zum Beispiel s_a von A zur Mitte von BC. Sie teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Teildreiecke. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt.
Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck besitzt drei Seitenhalbierende. Sie schneiden sich im Schwerpunkt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Betrachte ein Dreieck ABC. Der Mittelpunkt der Seite BC heißt M_a. Die Verbindung von A zu M_a ist die Seitenhalbierende s_a. Entsprechend gibt es auch s_b vom Eckpunkt B zur Mitte von AC und s_c vom Eckpunkt C zur Mitte von AB. Manche Darstellungen bezeichnen die ganze Gerade durch Eckpunkt und Seitenmitte als Seitenhalbierende, andere nur die Verbindungsstrecke im Dreieck. Für das Erkennen und Konstruieren ist entscheidend: Eckpunkt und Mitte der gegenüberliegenden Seite müssen auf ihr liegen.
Definition
Seitenhalbierende
Eine Seitenhalbierende verläuft von einem Eckpunkt durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Als Strecke verbindet sie den Eckpunkt mit diesem Mittelpunkt.
Merke: Eine Seitenhalbierende halbiert die gegenüberliegende Seite. Sie halbiert nicht automatisch den Winkel am Eckpunkt.
Teste dich
Ist die Mitte einer Seite noch nicht markiert, konstruierst du zuerst ihre Mittelsenkrechte. Die gleichen Radien der Hilfskreise sorgen dafür, dass beide Kreisschnittpunkte von B und C gleich weit entfernt sind. Deshalb geht ihre Verbindung genau durch die Mitte von BC. Verwechsle die beiden Linien nicht: Die Mittelsenkrechte gehört zur Seite BC und liefert nur deren Mitte. Die Seitenhalbierende führt dann vom gegenüberliegenden Eckpunkt A zu dieser Mitte. Wiederholst du das für die beiden anderen Seiten, erhältst du alle drei Seitenhalbierenden.
Definition
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke verläuft durch deren Mittelpunkt und steht senkrecht auf der Strecke.
Beispiel: Die Seitenhalbierende von A konstruieren
- 1Zirkel auf einen Radius größer als die halbe Seite BC einstellen
- 2Um B und um C je einen Hilfskreis mit diesem Radius zeichnen
- 3Die beiden Schnittpunkte der Hilfskreise verbinden: Mittelsenkrechte von BC
- 4Ihr Schnittpunkt mit BC ist die Seitenmitte M_a
- 5A mit M_a verbinden und die Strecke mit s_a beschriften
Teste dich
Eine Seitenhalbierende teilt nicht nur die gegenüberliegende Seite, sondern auch die Fläche des Dreiecks in zwei gleich große Teile. Die Seitenhalbierende AM_a zerlegt das Dreieck ABC in die Dreiecke ABM_a und ACM_a. Ihre Grundseiten BM_a und M_aC sind gleich lang, weil M_a die Mitte von BC ist. Beide Teildreiecke haben dieselbe Höhe zur Geraden durch BC, denn ihr gemeinsamer Eckpunkt ist A. Hat die ganze Seite die Länge g und die Höhe die Länge h, dann gilt für jedes Teildreieck: A_{\text{Teil}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{2} \cdot h = \frac{g \cdot h}{4} Das ist genau die Hälfte von A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h.
Beispiel: BC = 10 cm, Höhe 6 cm
- 1Die Seitenhalbierende teilt BC in zwei Abschnitte von je 5 cm.
- 2A_{\text{Teil}} = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2
- 3Beide Teildreiecke sind also 15 cm² groß.
Teste dich
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich immer in genau einem Punkt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt und wird häufig mit S bezeichnet. Zum Zeichnen des Schwerpunkts genügen bereits zwei Seitenhalbierende: Ihr Schnittpunkt ist S. Die dritte Seitenhalbierende verläuft ebenfalls durch diesen Punkt und kann als Kontrolle dienen. Die Seitenhalbierenden heißen auch Schwerelinien. Bei einem gleichmäßig schweren, ausgeschnittenen Dreieck lässt sich das anschaulich prüfen: Legst du eine Seitenhalbierende auf die Kante eines Lineals, kann das Dreieck entlang dieser Linie im Gleichgewicht liegen. Unterstützt du das Dreieck direkt im Schwerpunkt, ist S sein Balancepunkt.
Definition
Schwerpunkt
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der gemeinsame Schnittpunkt seiner drei Seitenhalbierenden.
Merke: Die Flächenteilung ist eine geometrische Eigenschaft. Der Balanceversuch veranschaulicht zusätzlich die Bedeutung der Seitenhalbierenden als Schwerelinien.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Seitenhalbierende
Erkennen
Eckpunkt und gegenüberliegende Seitenmitte verbinden
Konstruieren
Seitenmitte mit der Mittelsenkrechten bestimmen
Flächenteilung
zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt
Schwerpunkt
gemeinsamer Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden
Balance
Seitenhalbierende als Schwerelinie
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Dreieck mit BC = 8 cm und Höhe 5 cm: Teilflächen berechnen
- 1Die Seitenhalbierende s_a teilt BC in 4 cm und 4 cm.
- 2Ganzes Dreieck: A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2
- 3Teildreieck ABM_a: A = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2
- 4Teildreieck ACM_a: ebenfalls 10 cm²
- 5Kontrolle: 10 cm² + 10 cm² = 20 cm²
Fehler finden
Teilflächen bei BC = 12 cm und Höhe 4 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Jedes Teildreieck hat nur die halbe Grundseite von 6 cm: A = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2. Zusammen sind das 24 cm², die Fläche des ganzen Dreiecks.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Seitenhalbierende führt von einem zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Um diese Mitte zu konstruieren, kann man zuerst die der Seite zeichnen. Die drei Seitenhalbierenden treffen sich im .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback