Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Mitternachtsformel: abc-Formel sicher anwenden
Mit der Mitternachtsformel löst du jede quadratische Gleichung. Du lernst, a, b und c abzulesen und mit der Diskriminante die Lösungen vorherzusagen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Mitternachtsformel (abc-Formel) löst jede quadratische Gleichung ax^2 + bx + c = 0 mit a \ne 0: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Die Diskriminante D = b^2 - 4ac zeigt vorher, ob es zwei (D > 0), eine (D = 0) oder keine reelle Lösung (D < 0) gibt.
Mit der Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, löst du jede quadratische Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 mit a\ne0. Die Diskriminante zeigt dir vorher, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Du kannst die Formel anwenden, sobald die Gleichung in der Form ax^2 + bx + c = 0 mit a \ne 0 vorliegt. Steht sie noch nicht so da, bringst du zuerst alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite 0 steht, und fasst gleichartige Terme zusammen. Erst danach liest du die Koeffizienten ab. Beispiel: In 2x^2 - 7x + 3 = 0 gilt a = 2, b = -7 und c = 3.
Definition
Koeffizienten
Die Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten. Dabei steht a vor x^2, b vor x und c ohne x. Das Vorzeichen gehört immer zur Zahl.
| Du siehst | Das bedeutet |
|---|---|
| x^2 | a = 1 |
| -x | b = -1 |
| kein x-Term | b = 0 |
| keine Zahl ohne x | c = 0 |
Merke: Lies nicht nur die Zahlen ab. Nimm ihre Vorzeichen mit.
Teste dich
Für ax^2 + bx + c = 0 lautet die Mitternachtsformel x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} Das Zeichen \pm bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus. Lies zuerst a, b und c mit Vorzeichen ab. Berechne dann den Ausdruck unter der Wurzel, setze ein und werte beide Fälle aus. Zum Schluss prüfst du die Lösungen durch Einsetzen.
Beispiel: x^2 + 5x + 6 = 0 lösen
- 1a = 1, b = 5, c = 6
- 2b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
- 3x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 1}{2}
- 4x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2
- 5x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3
- 6Probe: (-2)^2 + 5 \cdot (-2) + 6 = 0 und (-3)^2 + 5 \cdot (-3) + 6 = 0
- 7L = \{-3; -2\}
| Typischer Fehler | So vermeidest du ihn |
|---|---|
| Vorzeichen von b verloren | Bei b = -3 steht vorne -(-3) = 3. Setze negative Zahlen in Klammern. |
| Nur mit Plus gerechnet | Bei D > 0 gibt es zwei Fälle: einmal Plus, einmal Minus. |
| Zu früh abgelesen | Erst umformen und zusammenfassen, dann a, b und c ablesen. |
| „Keine Lösung“ bei D < 0 | Genauer: keine reelle Lösung. |
Merke: Sicherheitsroutine: Normalform – Vorzeichen – Diskriminante – zwei Fälle – Probe.
Teste dich
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = b^2 - 4ac. Aus einer negativen Zahl kannst du in den reellen Zahlen keine Wurzel ziehen. Deshalb entscheidet das Vorzeichen von D, wie viele reelle Lösungen es gibt. Rechne D also immer zuerst aus. „Keine Lösung“ bei D < 0 gilt für die reellen Zahlen. In den komplexen Zahlen gibt es auch dann Lösungen.
| Diskriminante | Reelle Lösungen | Bedeutung am Parabelgraphen |
|---|---|---|
| D>0 | zwei | Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. |
| D=0 | eine doppelte | Die Parabel berührt die x-Achse. |
| D<0 | keine | Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. |
Beispiel: 4x^2 - 20x + 25 = 0 lösen
- 1a = 4, b = -20, c = 25
- 2D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0
- 3Plus und Minus liefern denselben Wert: x = \frac{-(-20)}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}
- 4Eine doppelte Lösung: L = \{\frac{5}{2}\}
Teste dich
Die Mitternachtsformel entsteht durch quadratische Ergänzung. Du formst ax^2 + bx + c = 0 so um, dass links ein binomisches Quadrat steht. Beim Wurzelziehen entstehen dann zwei Vorzeichen, und beim Teilen durch 2a brauchst du a \ne 0. So siehst du auch, warum die Diskriminante über die reellen Lösungen entscheidet: Sie steht unter der Wurzel.
Beispiel: Herleitung aus ax^2 + bx + c = 0
- 1Mit 4a multiplizieren: 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0
- 24ac abziehen und b^2 addieren: 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac
- 3Links steht ein binomisches Quadrat: (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac
- 4Wurzel ziehen, beide Vorzeichen: 2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac}
- 5b abziehen und durch 2a teilen: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mitternachtsformel (abc-Formel)
Voraussetzung
Gleichung in der Form ax^2 + bx + c = 0 mit a \ne 0
Koeffizienten
a, b und c immer mit Vorzeichen ablesen
Formel
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, Plus- und Minusfall rechnen
Diskriminante
D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine reelle Lösung
Graph
die Lösungen sind die Nullstellen der Parabel
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
5x + 3x^2 - 7 = 2x^2 + 3x lösen
- 12x^2 + 3x abziehen und zusammenfassen: x^2 + 2x - 7 = 0
- 2a = 1, b = 2, c = -7
- 3D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32
- 4x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2}
- 5Mit \sqrt{32} = 4\sqrt{2}: x_{1,2} = -1 \pm 2\sqrt{2}
- 6x_1 \approx 1{,}83 und x_2 \approx -3{,}83
- 7L = \{-1 - 2\sqrt{2}; -1 + 2\sqrt{2}\}
Fehler finden
2x^2 - 10x + 12 = 0 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Für -b wurde -10 eingesetzt statt -(-10) = 10. Richtig ist x_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{4}, also x_1 = 3 und x_2 = 2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In der Gleichung -x^2 + 4 = 0 ist a gleich , b gleich und c gleich .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback