Mathematik · Klasse 1 · aktualisiert
Summe verstehen: Summanden richtig addieren
Eine Summe ist ein Plus-Term oder sein Ergebnis. Du lernst, Summanden zu benennen, geschickt zu addieren und das Summenzeichen zu lesen.
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Kurz gesagt
Eine Summe ist ein Term aus Summanden, die durch Pluszeichen verbunden sind, oder dessen Wert. In 8 + 5 = 13 sind 8 und 5 die Summanden, 8 + 5 und 13 heißen Summe. Bei reiner Addition darfst du Summanden vertauschen und neu gruppieren, der Wert bleibt gleich.
Eine Summe ist ein Additionsterm oder das Ergebnis einer Addition. In 2+3=5 sind 2 und 3 die Summanden; 2+3 und der Wert 5 werden als Summe bezeichnet. Auf dieser Seite lernst du, Summen zu erkennen, geschickt zu berechnen und mit dem Summenzeichen aufzuschreiben.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
In der Addition 4+2=6 heißen 4 und 2 Summanden. Die Rechnung 4+2 ist ein Additionsterm; ihr Wert 6 ist das Ergebnis.
Definition
Summe
Eine Summe ist ein Term, dessen Teile durch Pluszeichen verbunden sind. Auch der Wert dieses Terms heißt Summe.
Beispiel: Die Teile von 8+5=13
- 1Erster Summand: 8, zweiter Summand: 5
- 2Summe als Term: 8+5
- 3Summe als Wert: 13
- 4Über den Zehner: 8+2=10, dann 10+3=13
Merke: Summand + Summand = Summe. Das Wort „Summe“ kann den Additionsterm oder seinen Wert meinen. Der Zusammenhang macht deutlich, was gemeint ist.
Teste dich
Eine Summe kann aus mehr als zwei Summanden bestehen. Du addierst schrittweise, bis alle Summanden berücksichtigt sind. Bei einer reinen Addition darfst du anders klammern: (4+7)+1=4+(7+1)=12 Diese Eigenschaft heißt Assoziativgesetz. Es besagt: Die Gruppierung der Summanden ändert den Wert nicht. Du darfst die Summanden außerdem vertauschen: 4+7+1=7+4+1 Diese Eigenschaft heißt Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz. Die beiden Gesetze gelten hier für reine Additionen. Bei Rechnungen mit anderen Rechenarten darfst du Klammern und Reihenfolge nicht ohne Prüfung verändern. Suche nach Summanden, die sich leicht ergänzen. Besonders hilfreich sind Paare, die zusammen 10, 100 oder eine andere glatte Zahl ergeben. Wird dieselbe Zahl mehrfach addiert, kannst du ein Produkt schreiben: a+a+a=3\cdot a Zum Beispiel: 5+5+5+5=4\cdot5=20
Beispiel: Berechne 4+7+1 schrittweise.
- 14+7=11
- 211+1=12
- 3Also gilt 4+7+1=12.
Beispiel: Berechne 18+7+2+3 geschickt.
- 1Ordnen: 18+2+7+3
- 2Gruppieren: (18+2)+(7+3)
- 3Rechnen: 20+10=30
Teste dich
Bei langen Additionen spart das große griechische Sigma \sum viel Schreibarbeit. Es heißt Summenzeichen. So wertest du eine Sigma-Summe aus: Lies die untere und obere Grenze ab. Setze jeden vorgesehenen Indexwert in den Summanden ein. Addiere die entstehenden Werte. Ist der Summand eine feste Zahl c, wird sie so oft addiert, wie der Indexbereich Werte enthält. Von m bis n sind es bei n\ge m genau n-m+1 Werte: \sum_{k=m}^{n}c=(n-m+1)c Bei gleichen Grenzen enthält die Summe genau ein Glied: \sum_{k=m}^{m}a_k=a_m
Definition
Summenzeichen
In \sum_{k=m}^{n}a_k ist k der Laufindex. Er nimmt nacheinander alle ganzen Zahlen von der unteren Grenze m bis zur oberen Grenze n an. Für jeden Wert setzt du k in den Summanden a_k ein.
Beispiel: Berechne \sum_{k=1}^{3}5k.
- 1k läuft von 1 bis 3.
- 25\cdot1=5, 5\cdot2=10, 5\cdot3=15
- 3\sum_{k=1}^{3}5k=5+10+15=30
Teste dich
Summen lassen sich bei Addition und konstanten Faktoren nach festen Regeln umformen: \sum_{k=m}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=m}^{n}a_k+\sum_{k=m}^{n}b_k \sum_{k=m}^{n}c\,a_k=c\sum_{k=m}^{n}a_k Ein Produkt im Summanden darfst du dagegen im Allgemeinen nicht in ein Produkt zweier Summen verwandeln. Auch eine Potenz darfst du nicht einfach über eine Summe verteilen: x_1^2+x_2^2\ne(x_1+x_2)^2 Denn rechts entsteht zusätzlich der Term 2x_1x_2.
Beispiel: Eine Summe von Produkten mit zwei Indexwerten
- 1\sum_{i=1}^{2}x_i y_i=x_1y_1+x_2y_2
- 2(x_1+x_2)(y_1+y_2)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2
- 3Rechts stehen zusätzlich die Kreuzprodukte x_1y_2 und x_2y_1.
- 4Mit x_1=1, x_2=2, y_1=3, y_2=4: links 3+8=11, rechts 3\cdot7=21
Merke: Addition und konstante Faktoren folgen den Summenregeln. Bei Produkten und Potenzen musst du den Ausdruck vollständig ausmultiplizieren oder jeden Summanden einzeln berechnen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Summe
Grundbegriffe
Summanden werden addiert, die Summe ist Term oder Wert
Geschickt rechnen
Summanden vertauschen und zu glatten Zahlen gruppieren
Gleiche Summanden
als Produkt schreiben, 5+5+5+5=4\cdot5
Summenzeichen
Grenzen lesen, Werte einsetzen, addieren
Rechenregeln
Faktoren ausklammern, Produkte und Potenzen nicht verteilen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Berechne 36 + 8 + 4 + 12 geschickt.
- 1Ordnen: 36 + 4 + 8 + 12
- 2Gruppieren: (36 + 4) + (8 + 12)
- 340 + 20 = 60
- 4Probe der Reihe nach: 36 + 8 = 44, 44 + 4 = 48, 48 + 12 = 60
Fehler finden
Berechne 16 + 5 + 4 + 5 geschickt. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Beim Gruppieren ist eine 5 verloren gegangen. Richtig ist 16 + 4 + 5 + 5 = (16 + 4) + (5 + 5) = 20 + 10 = 30.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In 6+9=15 heißen 6 und 9 . Der Wert 15 ist die . Die Rechnung 4+4+4 lässt sich als schreiben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback