Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Satz des Thales: Erklärung, Beweis und Anwendung
Der Satz des Thales verbindet Kreis und rechten Winkel. Du lernst, ihn anzuwenden, zu begründen und damit rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Satz des Thales besagt: Ist AB ein Durchmesser eines Kreises und liegt C auf der Kreislinie, dann ist der Winkel bei C ein rechter Winkel, also ∠ACB=90°. Den Kreis mit AB als Durchmesser nennt man Thaleskreis. Umgekehrt liegt jeder rechte Winkel auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse.
Liegt der Punkt C auf einem Kreis und ist AB ein Durchmesser dieses Kreises, dann ist der Winkel ∠ACB immer 90°. Mit dem Satz des Thales kannst du deshalb rechte Winkel erkennen, begründen und konstruieren. Du brauchst dafür nur Zirkel, Lineal und die Innenwinkelsumme im Dreieck.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Für den Satz müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: A und B sind die Endpunkte eines Kreisdurchmessers, und C liegt auf der Kreislinie, ist aber weder A noch B. Dann gilt ∠ACB=90°. Der rechte Winkel liegt bei C. Die gegenüberliegende Strecke AB ist deshalb die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Zwei Verwechslungen passieren leicht: C muss auf der Kreislinie liegen, nicht irgendwo im Inneren. Und AB muss durch den Mittelpunkt verlaufen, eine beliebige Sehne reicht nicht. Liegt C nicht auf dem Thaleskreis, kannst du aus dem Satz allein nicht auf einen rechten Winkel schließen. Das heißt aber nicht automatisch, dass der Winkel kein rechter ist: Es fehlen nur die Voraussetzungen des Satzes.
Definition
Thaleskreis
Der Thaleskreis über AB ist der Kreis, dessen Durchmesser die Strecke AB ist. Sein Mittelpunkt M ist also der Mittelpunkt von AB.
Merke: Ein Dreieck erfüllt den Satz nicht schon deshalb, weil seine drei Ecken auf einem Kreis liegen. Eine Dreiecksseite muss ein Durchmesser sein.
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Du möchtest ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB=8\,\mathrm{cm} zeichnen. 1. Zeichne die Strecke AB mit 8\,\mathrm{cm} Länge. 2. Konstruiere ihren Mittelpunkt M. 3. Zeichne um M einen Kreis mit dem Radius MA. 4. Wähle einen Punkt C auf der Kreislinie, aber nicht A oder B. 5. Verbinde C mit A und B. Verschiebst du C auf der Kreislinie, verändert sich die Form des Dreiecks, aber der Winkel bei C bleibt ein rechter.
Beispiel: Thaleskreis über AB=8\,\mathrm{cm}
- 1Radius = halber Durchmesser: r=\frac{8\,\mathrm{cm}}{2}=4\,\mathrm{cm}
- 2Kreis um M mit r=4\,\mathrm{cm} zeichnen
- 3C auf der Kreislinie wählen, dann gilt ∠ACB=90°
Teste dich
Verbinde C mit dem Kreismittelpunkt M. Die Strecken MA, MB und MC sind Radien desselben Kreises, also gilt MA=MB=MC. Damit sind die Teildreiecke AMC und BMC gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich. Nenne die Basiswinkel im Dreieck AMC jeweils α und die im Dreieck BMC jeweils β. Dann hat das große Dreieck ABC bei A den Winkel α, bei B den Winkel β und bei C die beiden Teilwinkel α und β.
Beispiel: Mit der Innenwinkelsumme zum rechten Winkel
- 1Innenwinkelsumme im Dreieck ABC: α+β+(α+β)=180°
- 2Zusammenfassen: 2(α+β)=180°
- 3Durch 2 teilen: α+β=90°
- 4α+β ist genau der Winkel ∠ACB, also ist er ein rechter Winkel.
Teste dich
Die Umkehrung lautet: Ist ein Dreieck ABC bei C rechtwinklig, dann liegt C auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse AB. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist zugleich der Mittelpunkt des Umkreises. Damit kannst du prüfen oder konstruieren: Kennst du den rechten Winkel, bestimmst du zuerst die gegenüberliegende Hypotenuse. Über ihr zeichnest du den Thaleskreis. Der Scheitelpunkt des rechten Winkels muss auf diesem Kreis liegen. Im Thalesdreieck ergänzen sich außerdem die beiden spitzen Winkel zu 90°.
Beispiel: Ein spitzer Winkel misst 32°
- 1Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen 90°.
- 290°-32°=58°
- 3Kontrolle: 32°+58°+90°=180°
Merke: Der Durchmesser des Thaleskreises ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel, also die Hypotenuse.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Satz des Thales
Voraussetzungen
AB ist ein Durchmesser, C liegt auf der Kreislinie
Folgerung
∠ACB=90°, und AB ist die Hypotenuse
Begründung
drei gleich lange Radien bilden zwei gleichschenklige Dreiecke
Konstruktion
Hypotenuse zeichnen, Mittelpunkt, Kreis, dann C auf die Kreislinie
Umkehrung
Ein rechter Winkel liegt auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Rechtwinkliges Dreieck mit AB=6\,\mathrm{cm} und AC=4\,\mathrm{cm}
- 1AB=6\,\mathrm{cm} zeichnen und den Mittelpunkt M konstruieren
- 2Radius des Thaleskreises: r=\frac{6\,\mathrm{cm}}{2}=3\,\mathrm{cm}
- 3Kreis um M mit r=3\,\mathrm{cm} zeichnen
- 4Kreis um A mit Radius 4\,\mathrm{cm}: Er schneidet den Thaleskreis im Punkt C
- 5C mit A und B verbinden: ∠ACB=90° und AC=4\,\mathrm{cm}
Fehler finden
Thalesdreieck über AB mit α=35°: Wie groß ist β? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der rechte Winkel γ wurde vergessen. Richtig ist β=180°-35°-90°=55°.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Satz des Thales verläuft AB durch den des Kreises. Der Punkt C liegt des Kreises. Der rechte Winkel liegt dann bei .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback