Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Schwerpunkt eines Dreiecks: Konstruktion und Formel
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Du lernst, ihn zu konstruieren, aus Koordinaten zu berechnen und das Verhältnis 2 : 1 zu nutzen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Seitenhalbierenden. Seine Koordinaten sind die Mittelwerte der Eckkoordinaten: x_S = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, ebenso für y. Vom Eckpunkt aus teilt S jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1.
Der Schwerpunkt S ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Bei einer gleichmäßig beschaffenen Dreiecksfläche ist er zugleich der Balancepunkt. Du kannst ihn zeichnerisch mit zwei Seitenhalbierenden bestimmen oder aus den Koordinaten der drei Eckpunkte berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Bei einer gleichmäßig dicken und gleichmäßig beschaffenen Dreiecksplatte liegt der Balancepunkt im Schwerpunkt. Stützt du die Platte dort, kann sie im Gleichgewicht bleiben. Eine Winkelhalbierende hat eine andere Aufgabe: Sie halbiert einen Winkel. In einem allgemeinen Dreieck muss sie deshalb keine Seitenhalbierende sein. Nur bei besonderen Symmetrien, etwa im gleichseitigen Dreieck, fallen diese Linien zusammen.
Definition
Schwerpunkt
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Seitenhalbierenden. Zwei Seitenhalbierende genügen, um ihn eindeutig zu bestimmen; die dritte verläuft zur Kontrolle durch denselben Punkt.
Teste dich
Für den Schwerpunkt brauchst du zwei Seitenhalbierende. Jede beginnt mit einem Seitenmittelpunkt, den du mit Zirkel und Lineal konstruierst. Die dritte Seitenhalbierende ist deine Kontrolle: Sie muss durch denselben Punkt gehen. Trifft sie ihn nicht, prüfe, ob deine Kreisbögen jeweils denselben Radius hatten und ob du jeden Seitenmittelpunkt mit der gegenüberliegenden Ecke verbunden hast.
Beispiel: Schwerpunkt von Dreieck ABC konstruieren
- 1Um A und C Kreisbögen mit gleichem Radius zeichnen, größer als die halbe Strecke AC
- 2Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden: Die Linie trifft AC im Mittelpunkt M_b
- 3B mit M_b verbinden: BM_b ist eine Seitenhalbierende
- 4Dasselbe an einer zweiten Seite wiederholen
- 5Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden als S markieren
- 6Kontrolle: Die dritte Seitenhalbierende geht auch durch S
Merke: Für die Konstruktion des Schwerpunkts brauchst du zwei Seitenhalbierende. Eine einzelne Seitenhalbierende legt nur fest, dass S irgendwo auf ihr liegt.
Teste dich
Sind die Eckpunkte A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C), bildest du für jede Koordinatenrichtung den Mittelwert der drei Werte: S\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right). Du addierst also zuerst alle drei x-Koordinaten und teilst durch 3. Danach machst du dasselbe mit den drei y-Koordinaten. Im Raum funktioniert das genauso. Bei drei Punkten mit x-, y- und z-Koordinate bildest du auch den Mittelwert der drei z-Werte.
Beispiel: Schwerpunkt von A(1;2), B(7;5) und C(4;8)
- 1x_S = \frac{1+7+4}{3} = \frac{12}{3} = 4
- 2y_S = \frac{2+5+8}{3} = \frac{15}{3} = 5
- 3Schwerpunkt: S(4;5)
- 4Probe: 4 liegt zwischen 1 und 7, 5 zwischen 2 und 8. S liegt also im Inneren.
Teste dich
Der Schwerpunkt liegt nicht in der Mitte einer Seitenhalbierenden. Vom Eckpunkt aus teilt er sie im Verhältnis 2 : 1: Die Strecke von der Ecke bis S ist doppelt so lang wie die Strecke von S bis zum Seitenmittelpunkt. Denk dir die Seitenhalbierende in drei gleich lange Anteile zerlegt. Zwei davon liegen zwischen Ecke und S, einer zwischen S und Seitenmitte.
Beispiel: Eine Seitenhalbierende von 12 cm teilen
- 1Ein Anteil: 12 cm : 3 = 4 cm
- 2Ecke bis S: 2 · 4 cm = 8 cm
- 3S bis Seitenmitte: 4 cm
- 4Kontrolle: 8 cm + 4 cm = 12 cm und 8 : 4 = 2 : 1
Merke: Nenne beim Verhältnis immer die Reihenfolge der Strecken. Vom Eckpunkt aus lautet es 2:1; die längere Teilstrecke liegt zwischen Ecke und Schwerpunkt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Schwerpunkt eines Dreiecks
Bedeutung
Schnittpunkt und Balancepunkt
Grundlage
Seitenhalbierende
Konstruktion
zwei Schnittlinien genügen
Berechnung
Mittelwert der Eckkoordinaten
Lage
im Inneren des Dreiecks
Teilung
vom Eckpunkt aus 2:1
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schwerpunkt von A(1;1), B(9;3) und C(5;8) berechnen
- 1x_S = \frac{1+9+5}{3} = \frac{15}{3} = 5
- 2y_S = \frac{1+3+8}{3} = \frac{12}{3} = 4
- 3Schwerpunkt: S(5;4)
- 4Probe: 5 liegt zwischen 1 und 9, 4 zwischen 1 und 8.
Fehler finden
Seitenhalbierende von 18 cm: Wo liegt S? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Schwerpunkt halbiert die Seitenhalbierende nicht, er teilt sie 2 : 1. Ein Anteil ist 18 cm : 3 = 6 cm, also Ecke bis S: 2 · 6 cm = 12 cm und S bis Seitenmitte 6 cm.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der . Für seine Konstruktion brauchst du mindestens Seitenhalbierende. Vom Eckpunkt aus teilt er jede Seitenhalbierende im Verhältnis .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback