Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
Rechteck: Eigenschaften, Umfang und Fläche
Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Du lernst seine Eigenschaften, berechnest Umfang und Flächeninhalt und findest fehlende Seiten.
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Kurz gesagt
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Für die Seiten a und b gilt: Umfang U=2a+2b, Flächeninhalt A=a\cdot b. Bei a=6\,\mathrm{cm} und b=4\,\mathrm{cm} sind das 20\,\mathrm{cm} und 24\,\mathrm{cm^2}.
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. Für die Seitenlängen a und b gilt: U=2a+2b für den Umfang und A=a\cdot b für den Flächeninhalt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Diagonalen verbinden gegenüberliegende Ecken. In einem Rechteck sind sie gleich lang und halbieren sich gegenseitig an ihrem Schnittpunkt. Jedes Rechteck besitzt mindestens zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Außerdem ist es punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Bei einem Quadrat sind auch die beiden Diagonalen Symmetrieachsen; es hat daher vier Symmetrieachsen.
Definition
Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln von jeweils 90^\circ. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
Merke: Vier rechte Winkel sind das entscheidende Erkennungsmerkmal. Gleich lange gegenüberliegende Seiten allein reichen nicht aus.
Teste dich
Der Umfang ist die Länge des gesamten Randes. Jede Seitenlänge kommt zweimal vor: U=2a+2b=2(a+b) Der Umfang hat eine Längeneinheit, zum Beispiel \mathrm{cm}. Der Flächeninhalt ist der bedeckte Bereich. Du kannst ihn als Zeilen mal Spalten von Einheitsquadraten verstehen: A=a\cdot b Die Einheit wird mitmultipliziert: \mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^2}.
Beispiel: Für a=6\,\mathrm{cm} und b=4\,\mathrm{cm} gilt:
- 1U=2\cdot6\,\mathrm{cm}+2\cdot4\,\mathrm{cm}=20\,\mathrm{cm}
- 2Das Ergebnis beschreibt die gesamte Randlänge.
Beispiel: Für dieselben Seitenlängen gilt:
- 1A=6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm^2}
- 2Das Rechteck bedeckt 24 Quadratzentimeter.
Merke: Beim Umfang addierst du Seitenlängen. Beim Flächeninhalt multiplizierst du zwei aneinanderliegende Seitenlängen.
Teste dich
Ist der Umfang gegeben, teile U=2a+2b zuerst durch 2 und ziehe dann die bekannte Seite ab: b=\frac{U}{2}-a Ist der Flächeninhalt gegeben, teilst du durch die bekannte Seitenlänge: b=\frac{A}{a}
Beispiel: Gegeben sind U=40\,\mathrm{cm} und a=5\,\mathrm{cm}.
- 140\,\mathrm{cm}=2\cdot5\,\mathrm{cm}+2b
- 2Nach dem Abziehen von 10\,\mathrm{cm} bleiben 30\,\mathrm{cm}=2b. Durch Teilen durch 2 folgt b=15\,\mathrm{cm}.
- 3Die Probe 2\cdot5\,\mathrm{cm}+2\cdot15\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm} bestätigt das Ergebnis.
Beispiel: Gegeben sind A=30\,\mathrm{cm^2} und a=6\,\mathrm{cm}.
- 1b=\frac{30\,\mathrm{cm^2}}{6\,\mathrm{cm}}=5\,\mathrm{cm}
- 2Eine Längeneinheit bleibt übrig, weil \mathrm{cm^2}:\mathrm{cm}=\mathrm{cm}.
Teste dich
Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck: Es hat vier rechte Winkel und zusätzlich vier gleich lange Seiten. Daher ist jedes Quadrat ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat. Setzt du a=b, werden die Rechteckformeln zu: U=4a A=a^2 Eine zusammengesetzte Figur kannst du in Rechtecke zerlegen. Berechne jede Teilfläche mit A=a\cdot b und addiere anschließend. Für drei Teilrechtecke gilt: A_{\mathrm{gesamt}}=A_1+A_2+A_3 Bevor du rechnest, müssen alle Seitenlängen dieselbe Einheit haben. Beispiel: Ein Rechteck hat a=30\,\mathrm{mm} und b=9\,\mathrm{cm}. Mit 30\,\mathrm{mm}=3\,\mathrm{cm} erhältst du U=24\,\mathrm{cm} und A=27\,\mathrm{cm^2}.
Beispiel: Ein Quadrat mit a=17\,\mathrm{cm} hat den Flächeninhalt
- 1A=(17\,\mathrm{cm})^2=289\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Rechteck
Eigenschaften
vier rechte Winkel; gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang; Diagonalen gleich lang und gegenseitig halbiert
Berechnungen
Umfang: U=2a+2b; Fläche: A=a\cdot b; fehlende Seite durch Umstellen
Beziehungen
Quadrat als Spezialfall; Teilflächen addieren
Kontrolle
gleiche Längeneinheiten; passende Ergebniseinheit
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Beet ist 8 m lang und 3,5 m breit. Wie lang ist der Zaun, wie groß die Fläche?
- 1Gegeben: a=8\,\mathrm{m} und b=3{,}5\,\mathrm{m}
- 2Umfang: U=2\cdot8\,\mathrm{m}+2\cdot3{,}5\,\mathrm{m}=16\,\mathrm{m}+7\,\mathrm{m}=23\,\mathrm{m}
- 3Flächeninhalt: A=8\,\mathrm{m}\cdot3{,}5\,\mathrm{m}=28\,\mathrm{m^2}
- 4Der Zaun ist 23 m lang, das Beet ist 28 m² groß.
Fehler finden
Umfang eines Rechtecks mit 7 cm und 4 cm Seitenlänge In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Faktoren 2 fehlen: Jede Seite kommt zweimal vor. Richtig ist U=14\,\mathrm{cm}+8\,\mathrm{cm}=22\,\mathrm{cm}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Rechteck hat vier Winkel. Den Umfang berechnest du mit . Ein Flächeninhalt hat die Einheit .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback