Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Parabel: Scheitelpunktform verstehen und zeichnen
Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Du liest Scheitel und Form aus der Scheitelpunktform ab, zeichnest sie und findest Nullstellen.
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Kurz gesagt
Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion f(x)=ax^2+bx+c mit a \neq 0. In der Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)^2+e liest du den Scheitelpunkt S(d \mid e) direkt ab, bei f(x)=2(x+3)^2-1 also S(-3 \mid -1). Ist a>0, ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wirf einen Ball schräg nach oben: Er fliegt in einem Bogen, steigt, wird langsamer und fällt wieder. So ein Bogen ist eine Parabel, der Graph einer quadratischen Funktion. An der Scheitelpunktform erkennst du sofort den höchsten oder tiefsten Punkt, die Öffnungsrichtung, die Breite und die Verschiebung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x)=ax^2+bx+c mit a \neq 0. Wäre a=0, fiele der quadratische Term weg und die Funktion wäre linear. Ihr Graph heißt Parabel. Die einfachste ist die Normalparabel f(x)=x^2: Sie hat den Scheitel S(0 \mid 0) und ist symmetrisch zur y-Achse, zum Beispiel liegen (2 \mid 4) und (-2 \mid 4) darauf. Die Scheitelpunktform lautet f(x)=a(x-d)^2+e mit dem Scheitel S(d \mid e). Ist a>0, ist die Parabel nach oben geöffnet, bei a<0 nach unten. Ist |a|>1, ist sie schmaler als die Normalparabel, bei 0<|a|<1 breiter. d verschiebt sie waagerecht, e senkrecht. Bei f(x)=2(x+3)^2-1 ist a=2, d=-3 und e=-1: nach oben geöffnet, schmaler, 3 nach links und 1 nach unten verschoben, also S(-3 \mid -1). Das Ablesen klappt, weil die Klammer am Scheitel 0 wird: f(-3)=2 \cdot 0^2-1=-1.
Definition
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Eine nach oben geöffnete Parabel hat dort ihren tiefsten Punkt, eine nach unten geöffnete ihren höchsten. Die senkrechte Gerade durch den Scheitel ist die Symmetrieachse.
Merke: Das Vorzeichen in der Klammer wirkt beim Ablesen entgegengesetzt: (x-3)^2 gehört zu d=3, aber (x+3)^2=(x-(-3))^2 zu d=-3.
Teste dich
Du startest am Scheitelpunkt S(d \mid e). Gehst du von dort um b Einheiten nach rechts, ändert sich der Funktionswert um \Delta y=a \cdot b^2. Bei a>0 gehst du nach oben, bei a<0 nach unten. Nimm nacheinander b=1, 2 und 3. Jeden Punkt spiegelst du an der Symmetrieachse x=d auf die linke Seite. Zum Schluss verbindest du alle Punkte zu einer gleichmäßigen Kurve, nicht mit einem Lineal.
Beispiel: f(x)=\frac12(x-3)^2+1 zeichnen
- 1Scheitel: S(3 \mid 1), Faktor a=\frac12
- 2b=1: \Delta y=\frac12 \cdot 1^2=0{,}5, Punkte (4 \mid 1{,}5) und (2 \mid 1{,}5)
- 3b=2: \Delta y=\frac12 \cdot 2^2=2, Punkte (5 \mid 3) und (1 \mid 3)
- 4b=3: \Delta y=\frac12 \cdot 3^2=4{,}5, Punkte (6 \mid 5{,}5) und (0 \mid 5{,}5)
- 5Jedes Punktpaar liegt symmetrisch zur Achse x=3.
Merke: Vom Scheitel aus: b nach rechts, a \cdot b^2 nach oben oder unten, dann spiegeln.
Teste dich
Kennst du den Scheitel S(d \mid e) und einen weiteren Punkt P, ist in f(x)=a(x-d)^2+e nur noch a unbekannt. Du setzt die Koordinaten von P ein und löst nach a auf. Die allgemeine Form ax^2+bx+c hat dagegen drei Unbekannte und braucht drei Bedingungen, zwei beliebige Punkte reichen dort nicht. Von der Scheitelpunktform kommst du durch Ausmultiplizieren zur allgemeinen Form: 2(x+3)^2-1=2(x^2+6x+9)-1=2x^2+12x+17. Der Rückweg heißt quadratische Ergänzung: Du ergänzt und subtrahierst denselben Wert, so bleibt der Term gleich.
Beispiel: Parabel mit Scheitel S(-3 \mid -1) durch P(-2 \mid 1)
- 1Scheitel einsetzen: f(x)=a(x+3)^2-1
- 2P einsetzen: 1=a \cdot (-2+3)^2-1
- 31=a-1, also a=2
- 4Ergebnis: f(x)=2(x+3)^2-1
- 5Probe: f(-2)=2 \cdot 1^2-1=1
Beispiel: f(x)=2x^2+12x+17 in die Scheitelpunktform bringen
- 12 ausklammern: f(x)=2(x^2+6x)+17
- 2Hälfte von 6 ist 3, 3^2=9: f(x)=2(x^2+6x+9-9)+17
- 3Binom bilden: f(x)=2((x+3)^2-9)+17
- 4Ausmultiplizieren: f(x)=2(x+3)^2-18+17
- 5f(x)=2(x+3)^2-1, also S(-3 \mid -1)
Teste dich
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Dort gilt f(x)=0. Eine quadratische Funktion hat keine, eine oder zwei Nullstellen. Aus der Scheitelpunktform stellst du nach der Klammer um und ziehst die Wurzel. Aus einer positiven Zahl gibt es dabei immer zwei Wurzeln, eine positive und eine negative. Beide Nullstellen liegen gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Vergleiche die Rechnung mit dem Graphen: Zeigt er zwei Schnittpunkte, deine Rechnung aber nur einen, hast du wahrscheinlich die negative Wurzel vergessen.
Beispiel: Nullstellen von f(x)=2(x+3)^2-1
- 12(x+3)^2-1=0
- 22(x+3)^2=1
- 3(x+3)^2=\frac12
- 4x+3=\frac{\sqrt2}{2} oder x+3=-\frac{\sqrt2}{2}
- 5x_1=-3-\frac{\sqrt2}{2} \approx -3{,}71 und x_2=-3+\frac{\sqrt2}{2} \approx -2{,}29
Teste dich
Alles auf einen Blick
Parabel
Parabel
Graph von f(x)=ax^2+bx+c mit a \neq 0
Scheitelpunktform
f(x)=a(x-d)^2+e hat den Scheitel S(d \mid e)
Formfaktor
Vorzeichen von a gibt die Öffnung, |a| die Breite
Zeichnen
vom Scheitel aus \Delta y=a \cdot b^2, dann spiegeln
Formen wechseln
ausmultiplizieren oder quadratisch ergänzen
Nullstellen
f(x)=0 setzen, beim Wurzelziehen beide Vorzeichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Scheitel und Nullstellen von f(x)=x^2-4x+3
- 1Quadratisch ergänzen: f(x)=x^2-4x+4-4+3
- 2f(x)=(x-2)^2-1, also S(2 \mid -1), nach oben geöffnet
- 3Nullstellen: (x-2)^2-1=0, also (x-2)^2=1
- 4x-2=1 oder x-2=-1, also x_1=1 und x_2=3
- 5Probe: f(1)=1-4+3=0 und f(3)=9-12+3=0
Fehler finden
Nullstellen von f(x)=(x+1)^2-4 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Aus 4 gibt es zwei Wurzeln: x+1=2 oder x+1=-2. Also hat f zwei Nullstellen, x_1=-3 und x_2=1, symmetrisch zur Achse x=-1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Umformen von 2x^2+12x+17 wird zuerst der Faktor ausgeklammert. Die Hälfte des Koeffizienten 6 in der Klammer ist , ihr Quadrat ist .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback