Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Nullstellen-Rechner: Methoden und Rechenweg
Ein Nullstellen-Rechner löst f(x)=0 in Sekunden. Du lernst, die passende Methode selbst zu erkennen und jedes Rechnerergebnis sicher zu prüfen.
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Kurz gesagt
Ein Nullstellen-Rechner löst die Gleichung f(x)=0 und zeigt die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse trifft. Sinnvoll nutzt du ihn, wenn du vorher die Form erkennst und die Zahl der Lösungen vorhersagst, bei quadratischen Funktionen mit der Diskriminante D=b^2-4ac. Danach setzt du jede Lösung zur Probe ein.
Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt und die entstehende Gleichung löst. Ein Nullstellen-Rechner nimmt dir das Rechnen ab, aber nicht das Denken: Welche Methode passt, wie viele Lösungen sind zu erwarten, und stimmt das Ergebnis wirklich? Hier lernst du die kurzen Rechenwege und die Mitternachtsformel kennen und prüfst Rechnerergebnisse Schritt für Schritt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Nullstelle und Nullstellenpunkt sind nicht dasselbe. Gilt f(3)=0, dann ist 3 die Nullstelle, also ein x-Wert. Der Punkt auf dem Graphen ist N(3 \mid 0). Ein Rechner gibt oft nur die x-Werte aus. Den Punkt schreibst du selbst, indem du den Funktionswert 0 ergänzt.
Definition
Nullstelle
Eine Nullstelle ist ein Wert x_0, für den f(x_0)=0 gilt. Am Graphen schneidet oder berührt die Funktion dort die x-Achse. Der zugehörige Nullstellenpunkt ist N(x_0 \mid 0).
Beispiel: Nullstelle von f(x)=3x+6
- 13x+6=0
- 23x=-6
- 3x=-2
- 4Probe: f(-2)=3\cdot(-2)+6=0
- 5Nullstelle x_0=-2, Nullstellenpunkt N(-2 \mid 0)
Teste dich
Setze zuerst immer f(x)=0 und sieh dir dann die Form der Gleichung an. Oft gibt es einen kurzen Weg, für den du keinen Rechner brauchst. Wurzelziehen: Bei x^2=4 gilt nicht nur x=2, sondern auch x=-2, denn beide Zahlen ergeben quadriert 4. Produkt-Null-Regel: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Hat jeder Summand den Faktor x, klammerst du ihn aus.
| Form | Geeigneter erster Schritt |
|---|---|
| mx+b=0 | nach x umstellen |
| x^2=c | Wurzel ziehen, beide Vorzeichen prüfen |
| Produkt A\cdot B=0 | jeden Faktor einzeln gleich null setzen |
| ax^2+bx+c=0 | faktorisieren oder Lösungsformel |
| Term mit x^2 und x^4 | x^2 ersetzen (substituieren), später zurücksetzen |
Beispiel: Zwei kurze Rechenwege
- 1x^2-4=0, also x^2=4 und x=\pm\sqrt{4}=\pm2
- 2x^2+8x=0, also x(x+8)=0
- 3x=0 oder x+8=0, also x_1=0 und x_2=-8
Merke: Wähle die Methode nach der Form. Eine lange Lösungsformel ist korrekt, aber bei einem Produkt oder einer reinen Potenz oft unnötig.
Teste dich
Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet ax^2+bx+c=0 mit a\ne0. Für jede solche Gleichung kannst du die Mitternachtsformel verwenden: x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D=b^2-4ac. Die p-q-Formel ist eine andere Lösungsformel. Sie gilt direkt für die normierte Form x^2+px+q=0. Steht vor x^2 nicht 1, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch a.
| Diskriminante | Reelle Nullstellen |
|---|---|
| D>0 | zwei verschiedene |
| D=0 | eine doppelte |
| D<0 | keine |
Beispiel: Nullstellen von f(x)=2x^2-12x-14
- 1a=2, b=-12, c=-14
- 2D=(-12)^2-4\cdot2\cdot(-14)=144+112=256
- 3D>0: zwei reelle Lösungen erwartet
- 4x_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{256}}{4}=\frac{12\pm16}{4}
- 5x_1=-1 und x_2=7
Teste dich
Ein Rechner hilft besonders bei unhandlichen Zahlen. Nutze ihn in fünf Schritten: Schreib die Funktion vollständig auf und setze sie gleich null. Prüfe, ob Klammern und Vorzeichen eindeutig eingegeben sind. Erkenne die Form und sage voraus, wie viele Lösungen du erwartest. Vergleiche Ergebnis und Rechenweg mit deiner Erwartung. Setze jede Lösung in die Ausgangsfunktion ein.
Beispiel: Rechnerergebnis für f(x)=x^2+2x-5 prüfen
- 1Vorhersage: D=2^2-4\cdot1\cdot(-5)=4+20=24>0, also zwei Lösungen
- 2x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}=-1\pm\sqrt{6}
- 3Probe: (-1+\sqrt6)^2+2(-1+\sqrt6)-5=7-2\sqrt6-2+2\sqrt6-5=0
- 4Zwei Ergebnisse, Probe erfüllt: Das Rechnerergebnis passt.
Merke: Ein Rechnerergebnis überzeugt erst, wenn Methode, Zahlenbereich und Probe zusammenpassen. Bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel gibt es keine reelle Lösung. Im Bereich der komplexen Zahlen sieht das anders aus.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Nullstellen-Rechner
Bedeutung
f(x_0)=0, der Punkt ist N(x_0 \mid 0).
Form erkennen
linear, reine Potenz, Produkt oder quadratisch.
Methode wählen
umstellen, Wurzel ziehen, ausklammern oder Lösungsformel.
Vorhersage
Die Diskriminante sagt, wie viele reelle Lösungen kommen.
Rechner nutzen
Eingabe und Rechenweg kontrollieren, jede Lösung einsetzen.
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Rechner gibt für f(x)=x^2-6x+9 nur x=3 aus. Stimmt das?
- 1a=1, b=-6, c=9
- 2D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0
- 3D=0: eine doppelte Nullstelle erwartet
- 4x=\frac{6}{2}=3
- 5Probe: f(3)=9-18+9=0
- 6Die Ausgabe stimmt: x=3 ist eine doppelte Nullstelle.
Fehler finden
Nullstellen von f(x)=x^2-2x-8 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2-4\cdot1\cdot(-8)=+32. Also ist D=4+32=36>0, und es gilt x_{1,2}=\frac{2\pm6}{2}, also x_1=4 und x_2=-2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für Nullstellen setzt du . Bei x^2=9 gibt es . Ist die Diskriminante negativ, gibt es reelle Nullstellen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback