Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Quadratische Ergänzung einfach erklärt
Mit der quadratischen Ergänzung machst du aus einem quadratischen Term ein Binom. So löst du Gleichungen und findest den Scheitelpunkt.
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Kurz gesagt
Bei der quadratischen Ergänzung halbierst du den Koeffizienten vor x, quadrierst ihn und ergänzt so ein vollständiges Quadrat: x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2. Damit löst du quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen oder bringst eine Funktion in die Scheitelpunktform.
Mit der quadratischen Ergänzung formst du einen quadratischen Ausdruck in ein quadriertes Binom wie (x+2)^2 um. So kannst du quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen und Funktionen in die Scheitelpunktform bringen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die quadratische Ergänzung nutzt die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts: (x+b)^2=x^2+2bx+b^2 Beim Ausdruck x^2+px entspricht der lineare Term px dem Term 2bx. Deshalb ist b=\frac{p}{2}. Die fehlende Ergänzung lautet also \left(\frac{p}{2}\right)^2: x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2
Definition
Quadratische Ergänzung
Du halbierst den Koeffizienten vor x und quadrierst das Ergebnis. Dadurch ergänzt du den Ausdruck zu einem vollständigen Quadrat.
Beispiel: Ergänze x^2+4x.
- 1p=4, die Hälfte ist 2, ihr Quadrat ist 4.
- 2x^2+4x+4=(x+2)^2
- 3Probe: (x+2)^2=x^2+4x+4
Merke: Halbieren, dann quadrieren: Zu x^2+px gehört die Ergänzung (p/2)^2. Das Vorzeichen von p/2 bleibt in der binomischen Klammer erhalten.
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Bei einer Gleichung musst du ihren Wert erhalten. Deshalb addierst du die Ergänzung auf beiden Seiten. Gegeben ist: 2x^2+8x-10=0 Normiere die Gleichung. Teile alle Terme durch 2, damit vor x^2 eine 1 steht: x^2+4x-5=0 Bringe die Konstante auf die andere Seite. x^2+4x=5 Ergänze auf beiden Seiten. Die Hälfte von 4 ist 2, also ergänzt du 2^2=4: x^2+4x+4=5+4 Schreibe das vollständige Quadrat als Binom. (x+2)^2=9 Ziehe die Wurzel. Eine Quadratzahl kann aus einer positiven oder negativen Zahl entstanden sein: x+2=3 \text{ oder } x+2=-3 Daraus folgen die Lösungen: x_1=1 \text{ und } x_2=-5
Merke: Beim Wurzelziehen brauchst du beide Vorzeichen. Aus u^2=9 folgt u=3 oder u=-3.
Teste dich
Bei einem Funktionsterm gibt es keine zweite Gleichungsseite. Du addierst und subtrahierst deshalb dieselbe Ergänzung. Insgesamt fügst du also null hinzu und veränderst den Termwert nicht. Die Scheitelpunktform lautet: f(x)=a(x-d)^2+e Der Scheitelpunkt ist dann S(d | e). Beachte das umgekehrte Vorzeichen in der Klammer: Aus (x+1)^2 wird d=-1. Fehlt der lineare Term, ist seine Hälfte 0. Zum Beispiel ist f(x)=2x^2+3 bereits die Scheitelpunktform 2(x-0)^2+3 mit dem Scheitelpunkt S(0 | 3).
Beispiel: Forme f(x)=3x^2+6x+7 um.
- 1Zuerst klammerst du den Faktor 3 aus den Variablentermen aus:
- 2f(x)=3(x^2+2x)+7
- 3Die Hälfte von 2 ist 1. Addiere und subtrahiere deshalb 1 innerhalb der Klammer:
- 4f(x)=3(x^2+2x+1-1)+7
- 5Bilde das Binom und beachte den ausgeklammerten Faktor:
- 6f(x)=3(x+1)^2-3+7
- 7f(x)=3(x+1)^2+4
- 8Der Scheitelpunkt ist S(-1 | 4).
Teste dich
Die Rechenidee ist in beiden Fällen gleich, nur der Wert bleibt auf verschiedene Weise erhalten. Bei einer Gleichung addierst du die Ergänzung auf beiden Seiten. Bei einem Funktionsterm addierst und subtrahierst du sie im selben Term. Die typischen Fehler stehen in der zweiten Tabelle.
| Situation | So bleibt der Wert erhalten |
|---|---|
| Gleichung | Ergänzung auf beiden Seiten addieren |
| Funktionsterm | Ergänzung im selben Term addieren und subtrahieren |
Beispiel: Bringe x^2-6x+5 in Scheitelpunktform und bestimme die Nullstellen.
- 1Die Hälfte von -6 ist -3, ihr Quadrat ist 9.
- 2x^2-6x+5=x^2-6x+9+5-9
- 3x^2-6x+5=(x-3)^2-4
- 4Scheitelpunkt: S(3 | -4)
- 5Nullstellen: (x-3)^2-4=0, also (x-3)^2=4
- 6x-3=2 oder x-3=-2, also x_1=5 und x_2=1
| Typischer Fehler | So machst du es richtig |
|---|---|
| Nicht normieren | Vor der Ergänzung muss vor x^2 eine 1 stehen. |
| Nicht quadrieren | Die Hälfte des linearen Koeffizienten allein ist noch nicht die Ergänzung. |
| Den Vorfaktor vergessen | Bei 3(x^2+2x-1) wirkt die 3 auf jeden Term in der Klammer. |
| Nur eine Wurzel verwenden | Beim Lösen einer Gleichung brauchst du beide Vorzeichen. |
| Den Scheitel falsch ablesen | Bei (x+1)^2 ist die Scheitelstelle x=-1. |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Quadratische Ergänzung
Ergänzung
linearen Koeffizienten halbieren und quadrieren
Ziel
vollständiges Quadrat bilden
Gleichungen
normieren, beidseitig ergänzen, beide Wurzeln nutzen
Funktionen
ausklammern, null ergänzen, Scheitelpunktform bilden
Kontrolle
Binom ausmultiplizieren und Ergebnis vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Löse x^2+6x-7=0 mit quadratischer Ergänzung.
- 1x^2+6x=7
- 2Hälfte von 6 ist 3, Ergänzung 3^2=9
- 3x^2+6x+9=7+9
- 4(x+3)^2=16
- 5x+3=4 oder x+3=-4
- 6x_1=1 und x_2=-7
Fehler finden
Löse x^2-4x-5=0. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Ergänzung 4 wurde nur links addiert. Richtig: x^2-4x+4=5+4, also (x-2)^2=9 und x_1=5, x_2=-1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für x^2+8x halbierst du zuerst den Koeffizienten 8. Du erhältst . Die quadratische Ergänzung ist deshalb . Das vollständige Quadrat lautet .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback