Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Quadratische Funktionen und Parabeln verstehen
Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graphen. Du lernst, Scheitel, Öffnung und Nullstellen abzulesen, umzuformen und Modelle zu deuten.
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Kurz gesagt
Eine quadratische Funktion hat die Form f(x)=ax^2+bx+c mit a\ne0, ihr Graph ist eine Parabel. Das Vorzeichen von a entscheidet, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. In der Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)^2+e liest du den Scheitel S(d \mid e) direkt ab.
Eine quadratische Funktion hat die Form f(x)=ax^2+bx+c mit a\ne0. Ihr Graph ist eine Parabel. An der Funktionsgleichung kannst du erkennen, wie die Parabel geöffnet, verschoben und gestreckt ist. Je nach Darstellungsform lassen sich außerdem der Scheitelpunkt, der y-Achsenabschnitt oder die Nullstellen direkt ablesen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine quadratische Funktion enthält x^2 als höchste Potenz. Die einfachste ist f(x)=x^2. Ihr Graph heißt Normalparabel. Sie hat den Scheitelpunkt S(0 \mid 0), ist nach oben geöffnet und symmetrisch zur y-Achse. Für gegenüberliegende x-Werte entstehen gleiche Funktionswerte: f(-2)=4 und f(2)=4. Daran erkennst du die Symmetrie.
Definition
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten oder der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel. Durch ihn verläuft die senkrechte Symmetrieachse der Parabel.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x)=x^2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Teste dich
Besonders übersichtlich ist die Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)^2+e. Der Scheitelpunkt ist S(d \mid e), die Symmetrieachse ist die Gerade x=d. Der Faktor a bestimmt Öffnung und Breite: Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a<0 nach unten. Für |a|>1 ist sie schmaler als die Normalparabel, für 0<|a|<1 breiter, für |a|=1 genauso breit. Die Werte d und e beschreiben die Verschiebung: d>0 verschiebt die Parabel nach rechts, d<0 nach links. e>0 verschiebt sie nach oben, e<0 nach unten.
Beispiel: g(x)=-2(x-2)^2-2 ablesen
- 1a=-2: nach unten geöffnet, wegen |a|=2>1 schmaler
- 2d=2: um 2 Einheiten nach rechts verschoben
- 3e=-2: um 2 Einheiten nach unten verschoben
- 4Scheitelpunkt S(2 \mid -2), zugleich der höchste Punkt
Merke: In der Klammer liest du die Verschiebung mit umgekehrtem Vorzeichen: (x-3)^2 bedeutet 3 nach rechts, (x+3)^2 bedeutet 3 nach links.
Teste dich
Dieselbe quadratische Funktion kann in drei Formen geschrieben werden. Jede zeigt etwas anderes direkt. Von der Scheitelpunktform kommst du mit einer binomischen Formel zur allgemeinen Form: 3(x-2)^2+5=3(x^2-4x+4)+5=3x^2-12x+17. Für den umgekehrten Weg nutzt du die quadratische Ergänzung: Du ergänzt und subtrahierst dieselbe Zahl, sodass ein binomisches Quadrat entsteht. Schneller geht der Scheitel oft mit x_S=-\frac{b}{2a} und y_S=f(x_S). In der Produktform ist f(x)=0, wenn einer der Faktoren null ist.
| Form | Funktionsgleichung | Direkt erkennbar |
|---|---|---|
| Allgemeine Form | f(x)=ax^2+bx+c mit a\ne0 | Öffnung und Breite durch a, y-Achsenabschnitt (0 \mid c) |
| Scheitelpunktform | f(x)=a(x-d)^2+e | Scheitel S(d \mid e) |
| Produktform | f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) | Nullstellen x_1 und x_2 |
Beispiel: f(x)=2x^2+4x-3 in Scheitelpunktform
- 12 ausklammern: f(x)=2(x^2+2x)-3
- 2Hälfte von 2 ist 1, 1^2=1: f(x)=2(x^2+2x+1-1)-3
- 3Quadrat bilden: f(x)=2((x+1)^2-1)-3
- 4Äußere Klammer auflösen: f(x)=2(x+1)^2-2-3
- 5f(x)=2(x+1)^2-5, also S(-1 \mid -5)
Definition
Nullstelle
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, für den f(x)=0 gilt. Im Graphen liegt dort ein Schnittpunkt mit der x-Achse. Eine Parabel kann zwei, eine oder keine reelle Nullstelle haben.
Teste dich
Kennst du den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt, setzt du zuerst den Scheitel in die Scheitelpunktform ein. Mit dem zweiten Punkt bestimmst du dann den Faktor a. In Anwendungen musst du jede Koordinate übersetzen. Die Flugbahn eines Golfballs wird beschrieben durch f(x)=-0{,}025x^2+2x. Dabei ist x die horizontale Entfernung in Metern und f(x) die Höhe in Metern. Da a=-0{,}025<0 ist, öffnet sich die Parabel nach unten. Ihr Scheitel S(40 \mid 40) bedeutet: Nach 40 Metern erreicht der Ball seine maximale Höhe von 40 Metern.
Beispiel: Parabel mit S(1 \mid 4{,}5) durch P(4 \mid 0)
- 1Ansatz: f(x)=a(x-1)^2+4{,}5
- 2P einsetzen: 0=a(4-1)^2+4{,}5
- 30=9a+4{,}5
- 4a=-0{,}5
- 5Also f(x)=-0{,}5(x-1)^2+4{,}5, der Scheitel ist ein Hochpunkt.
Beispiel: Golfball: Höhe und Landepunkt
- 1Höhe nach 20 m: f(20)=-0{,}025\cdot20^2+2\cdot20=30, also 30 m
- 2Landung: -0{,}025x^2+2x=0
- 3Ausklammern: x(-0{,}025x+2)=0
- 4x=0 (Abschlag) oder x=80 (Landung nach 80 m)
Merke: Ein Ergebnis bekommt seine Bedeutung erst im Kontext: Der Scheitel kann eine maximale Höhe sein, eine Nullstelle der Start oder die Landung, ein Funktionswert die Höhe an einer Stelle.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Quadratische Funktionen
Normalparabel
f(x)=x^2 mit Scheitel im Ursprung
Faktor a
Vorzeichen gibt die Öffnung, Betrag die Breite
Scheitelpunktform
a(x-d)^2+e zeigt den Scheitel S(d \mid e)
Allgemeine und Produktform
y-Achsenabschnitt und Nullstellen
Umformen
binomische Formel hin, quadratische Ergänzung zurück
Modelle
Hochpunkt, Höhe und Bodenkontakt deuten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Scheitel von f(x)=-0{,}025x^2+2x berechnen
- 1Ablesen: a=-0{,}025, b=2, c=0
- 2x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-0{,}025)}=40
- 3y_S=f(40)=-0{,}025\cdot40^2+2\cdot40=-40+80=40
- 4Scheitel S(40 \mid 40), wegen a<0 ein Hochpunkt
Fehler finden
f(x)=3x^2-12x+5 in Scheitelpunktform In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 5Die -4 steht in der Klammer, die mit 3 multipliziert wird. Richtig ist f(x)=3(x-2)^2-12+5=3(x-2)^2-7, der Scheitel ist S(2 \mid -7).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ist a negativ, ist die Parabel nach geöffnet. Bei (x+3)^2 ist sie um 3 nach verschoben. Die Nullstellen liest du direkt aus der ab.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback