Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Quadratische Gleichungen lösen: Wege und Beispiele
Quadratische Gleichungen löst du mit Wurzelziehen, Ausklammern oder einer Lösungsformel. Du lernst, den kürzesten Weg zu wählen und Lösungen zu zählen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine quadratische Gleichung lässt sich als ax^2+bx+c=0 mit a\neq0 schreiben. Fehlt bx, ziehst du die Wurzel. Fehlt c, klammerst du x aus. Sonst hilft die abc-Formel x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} oder nach dem Normieren die pq-Formel.
Quadratische Gleichungen bringst du zuerst in die Nullform ax^2+bx+c=0 mit a\neq0. Dann wählst du nach der Form den kürzesten sicheren Lösungsweg: Wurzelziehen, Ausklammern oder eine Lösungsformel. Zum Schluss prüfst du, wie viele reelle Lösungen es gibt, und machst die Probe.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Gleichung ist quadratisch, wenn sie sich in die Form ax^2+bx+c=0 mit a\neq0 bringen lässt. Die höchste Potenz der Variablen ist dann 2. Prüfe nach dem Herstellen der Nullform, welche Glieder vorhanden sind. Fehlt das lineare Glied bx, isolierst du x^2 und ziehst die Wurzel. Fehlt die Konstante c, klammerst du x aus. Sind alle drei Glieder da, nimmst du die abc-Formel oder normierst für die pq-Formel beziehungsweise die quadratische Ergänzung.
Definition
Nullform
In der Nullform steht auf einer Seite ax^2+bx+c und auf der anderen Seite 0. Dabei heißen a, b und c Koeffizienten. Das Glied c ist die Konstante.
| Beispiel | Was fehlt? | Verfahren |
|---|---|---|
| x^2-25=0 | das lineare Glied bx | Wurzelziehen |
| x^2-5x=0 | die Konstante c | Ausklammern, Nullprodukt |
| x^2+4x-3=0 | nichts | Lösungsformel oder quadratische Ergänzung |
Merke: Erst Nullform herstellen, dann die Struktur ansehen, erst danach rechnen.
Teste dich
Bei ax^2+c=0 isolierst du zuerst x^2. Für x^2=r gilt dann: Ist r>0, gibt es zwei Lösungen x=\pm\sqrt r. Ist r=0, gibt es genau eine Lösung x=0. Ist r<0, gibt es keine reelle Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist. Das Zeichen \pm ist unverzichtbar: Aus x^2=16 folgt nicht nur x=4, sondern auch x=-4. Fehlt dagegen die Konstante, steckt in jedem Glied ein Faktor x. Nach dem Ausklammern erhältst du ein Produkt. Teile dabei nie vorschnell durch x, sonst verlierst du die Lösung x=0.
Beispiel: Löse 2x^2-32=0
- 1+32: 2x^2=32
- 2:2: x^2=16
- 3Wurzel mit beiden Vorzeichen: x=\pm4
- 4\mathbb L=\{-4;4\}
Definition
Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Aus u\cdot v=0 folgt also u=0 oder v=0.
Beispiel: Löse 2x^2+8x=0
- 1Ausklammern: 2x(x+4)=0
- 22x=0 oder x+4=0
- 3x_1=0 und x_2=-4
- 4\mathbb L=\{-4;0\}
Teste dich
Sind ax^2, bx und c vorhanden, kannst du die abc-Formel direkt verwenden: x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Für die pq-Formel muss zuerst der Koeffizient vor x^2 gleich 1 sein. Nach dem Normieren lautet die Gleichung x^2+px+q=0 und die Formel x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}. Die quadratische Ergänzung formt die Normalform in ein Quadrat um: Bei x^2+8x+7=0 addierst du 16 auf beiden Seiten, x^2+8x+16=9. Daraus wird (x+4)^2=9, also x+4=\pm3. Wieder erhältst du x=-1 und x=-7.
Beispiel: Löse 2x^2+3x-2=0 mit der abc-Formel
- 1a=2, b=3, c=-2
- 2x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2}
- 3Unter der Wurzel: 9+16=25
- 4x_{1,2}=\frac{-3\pm5}{4}
- 5x_1=\frac12, x_2=-2, also \mathbb L=\{-2;\frac12\}
Beispiel: Löse 2x^2+16x+14=0 mit der pq-Formel
- 1Normieren, :2: x^2+8x+7=0
- 2Mit Vorzeichen ablesen: p=8, q=7
- 3\sqrt{16-7}=\sqrt9=3
- 4x_{1,2}=-4\pm3
- 5x_1=-1, x_2=-7, also \mathbb L=\{-7;-1\}
Merke: Bei der pq-Formel musst du vorher normieren. Bei jeder Formel übernimmst du die Vorzeichen der Koeffizienten genau.
Teste dich
Bei der abc-Formel heißt der Ausdruck unter der Wurzel Diskriminante: \Delta=b^2-4ac. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist sie null, gibt es genau eine. Ist sie negativ, gibt es keine reelle Lösung. In der pq-Formel übernimmt \left(\frac p2\right)^2-q dieselbe Aufgabe. Die Lösungen von ax^2+bx+c=0 sind zugleich die Nullstellen der Parabel y=ax^2+bx+c. Bleibt unter der Wurzel eine positive Zahl, die sich nicht exakt vereinfachen lässt, darfst du den Wurzelterm als exaktes Ergebnis stehen lassen. Eine Dezimalzahl ist nur eine Näherung.
Beispiel: Lösungsanzahl von 4x^2+32x+64=0
- 1a=4, b=32, c=64
- 2\Delta=32^2-4\cdot4\cdot64=1024-1024=0
- 3Genau eine reelle Lösung: x=-4
| Diskriminante | Reelle Lösungen | Parabel und x-Achse |
|---|---|---|
| \Delta>0 | zwei | zwei Schnittpunkte |
| \Delta=0 | eine | ein Berührpunkt |
| \Delta<0 | keine | kein gemeinsamer Punkt |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Quadratische Gleichungen
Nullform
zuerst ax^2+bx+c=0 herstellen
Ohne lineares Glied
Wurzel ziehen, an ± denken
Ohne Konstante
x ausklammern, Satz vom Nullprodukt
Vollständige Form
abc-Formel oder normieren und pq-Formel
Lösungsanzahl
Diskriminante oder Nullstellen der Parabel
Probe
Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Löse x^2+2x=15
- 1Nullform: x^2+2x-15=0
- 2p=2, q=-15
- 3\sqrt{1+15}=\sqrt{16}=4
- 4x_{1,2}=-1\pm4
- 5x_1=3, x_2=-5
- 6Probe: 3^2+2\cdot3=15 und (-5)^2+2\cdot(-5)=15
Fehler finden
Löse 3x^2=12x In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Durch x darfst du nicht teilen, denn x könnte 0 sein. Richtig: x^2-4x=0, also x(x-4)=0 und \mathbb L=\{0;4\}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Fehlt das lineare Glied, löst du durch . Vor der pq-Formel muss der Faktor vor x^2 gleich sein. Ist die Diskriminante negativ, gibt es reelle Lösung.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback