Mathematik · Klasse 5 · aktualisiert
Natürliche Zahlen einfach erklärt
Du lernst, welche Zahlen natürlich sind, ob die 0 dazugehört, was gerade, ungerade und Primzahlen sind und wie ℕ zu ℤ, ℚ und ℝ passt.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst: 1, 2, 3, 4 und so weiter. Ob die 0 dazugehört, ist eine Vereinbarung: Mit 0 schreibt man oft \mathbb N_0. Negative Zahlen wie −3, Brüche wie 12 und Dezimalzahlen wie 1,25 sind keine natürlichen Zahlen. Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht.
Wie viele Stifte liegen in deinem Mäppchen? Welchen Platz hat deine Mannschaft erreicht? Für solche Fragen brauchst du natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, \ldots Je nach vereinbarter Schreibweise gehört auch die 0 dazu. Negative Zahlen, echte Brüche und Dezimalzahlen mit Nachkommastellen sind keine natürlichen Zahlen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Punkte in 1, 2, 3, 4, \ldots bedeuten: Die Folge geht immer weiter. Natürliche Zahlen haben verschiedene Aufgaben. Du zählst mit ihnen: Auf dem Tisch liegen 6 Hefte. Du ordnest mit ihnen: Eine Läuferin erreicht Platz 3. Und du kennzeichnest mit ihnen: Die Hausnummer 27 bezeichnet ein bestimmtes Haus. Nicht natürlich sind zum Beispiel −3, 12 und 1,25. Sie sind negativ oder keine ganzen Zahlen.
Definition
Natürliche Zahl
Natürliche Zahlen sind ganze Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Dazu gehören 1, 2, 3, 4, \ldots; je nach Vereinbarung zählt auch 0 dazu.
Beispiel: Ist die Zahl natürlich?
- 142: ganz und positiv, also natürlich
- 2−42: negativ, also nicht natürlich
- 3\frac{42}{5} = 8{,}4: keine ganze Zahl, also nicht natürlich
Teste dich
Dafür gibt es zwei gebräuchliche Vereinbarungen, sogenannte Konventionen: \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\} oder \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}. Deshalb reicht das Zeichen \mathbb N allein nicht immer aus, um zu entscheiden, ob 0 gemeint ist. Wenn \mathbb N ohne 0 verwendet wird, bezeichnet häufig \mathbb N_0=\mathbb N\cup\{0\} die natürlichen Zahlen mit 0. Nach einer anderen verbreiteten Schreibweise enthält \mathbb N bereits die 0, während \mathbb N^* die positiven natürlichen Zahlen 1,2,3,\ldots bezeichnet.
Merke: Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst die angegebene Definition. Ohne eine solche Angabe solltest du ausdrücklich dazuschreiben, ob du die 0 einschließt.
Teste dich
Der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist um 1 größer: Der Nachfolger von 17 ist 17 + 1 = 18. Zwischen 17 und 18 liegt keine weitere natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Addierst du zu einer angeblich größten Zahl 1, erhältst du eine noch größere. Deshalb gibt es keine größte natürliche Zahl. Die kleinste hängt von der Null-Konvention ab: mit 0 ist es die 0, ohne 0 die 1. Eine Zahl ist gerade, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist, zum Beispiel 2, 4, 6, 8. Sonst ist sie ungerade, zum Beispiel 1, 3, 5, 7.
Definition
Primzahl
Eine Primzahl besitzt genau zwei positive Teiler: 1 und sich selbst. Beispiele sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl: Jede andere gerade Zahl hat außer 1 und sich selbst noch den Teiler 2, also mehr als zwei Teiler.
Beispiel: 12 und 13 einordnen
- 112 = 2 · 6: gerade
- 212 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12: keine Primzahl
- 313 : 2 = 6 Rest 1: ungerade
- 413 hat nur die Teiler 1 und 13: Primzahl
Teste dich
Natürliche Zahlen bilden nur einen Teil der Zahlen, mit denen du rechnen kannst. Ganze Zahlen \mathbb Z enthalten natürliche Zahlen, die 0 und negative ganze Zahlen wie -5. Rationale Zahlen \mathbb Q lassen sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben. Dazu gehören etwa \frac{1}{4}, -5 und 13. Reelle Zahlen \mathbb R umfassen die rationalen Zahlen und zusätzlich irrationale Zahlen wie \sqrt{2}. Die Mengen sind ineinander enthalten: \mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R. Das bedeutet: Jede natürliche Zahl ist auch ganz, rational und reell. Die Umkehrung gilt nicht. Beispielsweise ist -5 ganz, aber nicht natürlich. Der Bruch \frac{1}{4} ist rational, aber weder ganz noch natürlich.
| Zahl | ℕ | ℤ | ℚ | ℝ |
|---|---|---|---|---|
| 7 | ja | ja | ja | ja |
| −5 | nein | ja | ja | ja |
| 14 | nein | nein | ja | ja |
| √2 | nein | nein | nein | ja |
Merke: Jede natürliche Zahl ist auch ganz, rational und reell. Umgekehrt gilt das nicht.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Natürliche Zahlen
Erkennen
natürliche Zahlen sind ganze Zählzahlen
Null
Zugehörigkeit hängt von der Konvention ab
Nachfolger
jede Zahl hat einen, es gibt keine größte
Einteilung
gerade, ungerade, Primzahl
Primzahl
genau zwei Teiler, die 1 ist keine
Einordnung
ℕ liegt in ℤ, ℚ und ℝ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Untersuche die Zahl 15.
- 115 ist ganz und positiv: natürlich
- 2Nachfolger: 15 + 1 = 16
- 315 : 2 = 7 Rest 1: ungerade
- 415 = 3 · 5: keine Primzahl
- 515 liegt in ℕ, ℤ, ℚ und ℝ.
Fehler finden
Alle Primzahlen von 1 bis 10 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die 1 hat nur einen Teiler, eine Primzahl braucht genau zwei. Richtig: Die 1 ist keine Primzahl. Die Primzahlen bis 10 sind 2, 3, 5 und 7.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Nachfolger von 17 ist . Die Zahl 1 ist Primzahl. Jede natürliche Zahl ist auch eine Zahl.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback