Mathematik · Klasse 5 · aktualisiert
Hexadezimalsystem verstehen und Zahlen umrechnen
Das Hexadezimalsystem rechnet mit 16 Ziffern von 0 bis F. Du lernst, Hexzahlen zu lesen, in Dezimal- und Binärzahlen umzurechnen und zu addieren.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 16. Es nutzt die Ziffern 0 bis 9 und A bis F für die Werte 10 bis 15. Von rechts haben die Stellen die Werte 1, 16, 256 und so weiter, zum Beispiel FF_{16} = 15 \cdot 16 + 15 = 255.
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 16. Es verwendet die Ziffern 0 bis 9 und die Buchstaben A bis F. Du kannst Hexadezimalzahlen verstehen, wenn du jeder Stelle eine Potenz von 16 zuordnest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Wie kann eine Zahl mit Buchstaben einen festen Wert haben? A bis F sind einfach zusätzliche Ziffern: A steht für 10, B für 11, C für 12, D für 13, E für 14 und F für 15. Die Stellenwerte sind von rechts nach links 16^0 = 1, 16^1 = 16, 16^2 = 256 und 16^3 = 4096. Jede Stelle weiter links ist also 16-mal so viel wert. Die kleine Zahl unten rechts, der Basisindex, zeigt, in welchem Zahlensystem eine Zahl geschrieben ist.
Definition
Stellenwertsystem
In einem Stellenwertsystem hängt der Wert einer Ziffer von ihrer Position ab. Im Dezimalsystem sind die Stellenwerte 1, 10, 100 und so weiter, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, 4096 und so weiter.
Beispiel: FF und 1000 im Hexadezimalsystem
- 1Das rechte F steht an der Einerstelle, das linke an der 16er-Stelle.
- 2FF_{16} = 15 \cdot 16 + 15 \cdot 1 = 240 + 15 = 255
- 3Bei 1000_{16} steht die 1 an der Stelle mit dem Wert 16^3.
- 41000_{16} = 1 \cdot 4096 = 4096
Merke: 10_{16} bedeutet nicht zehn. Nach F_{16} folgt ein Übertrag, deshalb gilt 10_{16} = 16_{10}.
Teste dich
Hex nach Dezimal: Ersetze A bis F durch 10 bis 15. Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert, beginnend rechts mit 16^0 = 1, und addiere alle Produkte. Dezimal nach Hex: Teile die Zahl wiederholt mit Rest durch 16, bis der Quotient 0 ist. Jeder Rest ist eine Hex-Ziffer. Lies die Reste zum Schluss von unten nach oben. Eine Probe mit der Rückrechnung zeigt, ob alles stimmt.
Beispiel: A9C_{16} in eine Dezimalzahl umwandeln
- 1A9C_{16} = 10 \cdot 16^2 + 9 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0
- 2= 10 \cdot 256 + 9 \cdot 16 + 12 \cdot 1
- 3= 2560 + 144 + 12 = 2716
- 4Plausibel: Mit A an der 256er-Stelle muss das Ergebnis über 2560 liegen.
Beispiel: 412 in eine Hexadezimalzahl umwandeln
- 1412 : 16 = 25 Rest 12, also Ziffer C
- 225 : 16 = 1 Rest 9
- 31 : 16 = 0 Rest 1
- 4Reste von unten nach oben: 412 = 19C_{16}
- 5Probe: 1 · 256 + 9 · 16 + 12 = 256 + 144 + 12 = 412
Teste dich
Computer speichern Daten als Bits, also als Nullen und Einsen. Weil 16 = 2^4 gilt, entspricht jede Hex-Ziffer genau einer Gruppe aus vier Bits. So eine Vierergruppe heißt Nibble. Zwei Hex-Ziffern stehen für acht Bits, also ein Byte. Zum Umwandeln teilst du die Binärzahl von rechts in Vierergruppen und ersetzt jede Gruppe durch ihre Hex-Ziffer.
| Binär | Hex | Binär | Hex |
|---|---|---|---|
| 0000 | 0 | 1000 | 8 |
| 0001 | 1 | 1001 | 9 |
| 0010 | 2 | 1010 | A |
| 0011 | 3 | 1011 | B |
| 0100 | 4 | 1100 | C |
| 0101 | 5 | 1101 | D |
| 0110 | 6 | 1110 | E |
| 0111 | 7 | 1111 | F |
Beispiel: Eine 16-Bit-Zahl in Hex umwandeln
- 1Vierergruppen: 0101\ 1011\ 1101\ 1000_2
- 2Die Gruppen stehen für 5, B, D und 8.
- 30101\ 1011\ 1101\ 1000_2 = 5BD8_{16}
Merke: Binär und Hexadezimal wandelst du gruppenweise um: vier Bits entsprechen genau einer Hex-Ziffer.
Teste dich
Du addierst spaltenweise wie im Dezimalsystem. Der Unterschied: Ein Übertrag entsteht erst bei 16 statt bei 10. Für eine Spaltensumme v bestimmst du v = q \cdot 16 + r. Den Rest r schreibst du in die Spalte, q überträgst du nach links. Werte von 10 bis 15 schreibst du als A bis F. Die Idee ist dieselbe wie im Dezimalsystem: Sobald eine Spalte die Basis erreicht, wird ein voller Block übertragen.
Beispiel: 2F_{16} + 14_{16} berechnen
- 1Einerstelle: 15 + 4 = 19 = 1 · 16 + 3, also 3 schreiben und 1 übertragen
- 216er-Stelle: 2 + 1 + 1 = 4
- 32F_{16} + 14_{16} = 43_{16}
- 4Kontrolle: 2F_{16} = 47, 14_{16} = 20, 43_{16} = 67 und 47 + 20 = 67
Teste dich
Alles auf einen Blick
Hexadezimalsystem
Basis
16, mit den Ziffern 0 bis 9 und A bis F
Stellenwerte
von rechts 1, 16, 256, 4096
Hex nach Dezimal
jede Ziffer mit ihrem Stellenwert malnehmen und addieren
Dezimal nach Hex
wiederholt durch 16 teilen, Reste von unten nach oben lesen
Binär
vier Bits entsprechen genau einer Hex-Ziffer
Übertrag
entsteht, sobald eine Spalte 16 erreicht
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
300 ins Hexadezimal- und ins Binärsystem umwandeln
- 1300 : 16 = 18 Rest 12, also Ziffer C
- 218 : 16 = 1 Rest 2
- 31 : 16 = 0 Rest 1
- 4Reste von unten nach oben: 300 = 12C_{16}
- 5Probe: 1 · 256 + 2 · 16 + 12 = 256 + 32 + 12 = 300
- 6Binär: 1 wird 0001, 2 wird 0010, C wird 1100, also 12C_{16} = 0001\ 0010\ 1100_2
Fehler finden
7E_{16} in eine Dezimalzahl umwandeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die linke Stelle zählt Sechzehner, nicht Zehner. Richtig ist 7E_{16} = 7 \cdot 16 + 14 = 112 + 14 = 126.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Umwandeln von 412 ist der erste Rest . Die Reste werden von gelesen. Das Ergebnis lautet deshalb .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback