Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Formeln umstellen: Regeln, Beispiele und Übungen
Formeln umstellen heißt, die gesuchte Größe allein auf eine Seite zu bringen. Du lernst die Gegenoperationen für Produkte, Klammern, Brüche und Quadrate.
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Kurz gesagt
Eine Formel stellst du um, indem du auf beiden Seiten dieselbe Gegenoperation ausführst, bis die gesuchte Variable allein steht. Einen Faktor entfernst du durch Division, einen Summanden durch Subtraktion, ein Quadrat durch Wurzelziehen. So wird aus v = \frac{s}{t} die Formel t = \frac{s}{v}.
Eine Formel umzustellen bedeutet: Du schreibst denselben Zusammenhang so um, dass die gesuchte Variable allein steht. Du kennst die Fläche und willst die Seite? Du kennst Strecke und Tempo und willst die Zeit? Dann stellst du um. Dabei führst du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer dieselbe Operation aus.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir das Gleichheitszeichen wie eine Waage vor. Beide Seiten haben denselben Wert. Addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst du auf beiden Seiten gleich, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Die Umkehroperation, die einen Rechenschritt rückgängig macht, heißt Gegenoperation. Welche du brauchst, hängt davon ab, wie die gesuchte Variable mit dem Rest verbunden ist. Die Regeln kennst du schon von der Äquivalenzumformung. Neu ist nur: In einer Formel stehen statt Zahlen meist Buchstaben.
Definition
Äquivalenzumformung
Eine Äquivalenzumformung verändert die Schreibweise einer Gleichung, aber nicht ihre Aussage. Dazu wird auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation ausgeführt.
| Rechenart | Gegenoperation |
|---|---|
| Addition | Subtraktion |
| Subtraktion | Addition |
| Multiplikation | Division |
| Division | Multiplikation |
| Quadrieren | Wurzelziehen |
Merke: Terme werden nicht einfach „auf die andere Seite geschoben“. Du führst eine Gegenoperation auf beiden Seiten aus.
Teste dich
Gehe bei jeder Formel gleich vor: Bestimme die gesuchte Variable. Vereinfache die Formel bei Bedarf. Entferne dann Schritt für Schritt alles, was an der Variablen hängt, mit der passenden Gegenoperation. Ist die Variable ein Faktor, teilst du beide Seiten durch den anderen Faktor. Steht sie in einer Klammer, entfernst du zuerst den äußeren Faktor vor der Klammer. Danach isolierst du die Variable innerhalb der Klammer. Durch null darfst du dabei nie teilen.
Beispiel: A = h \cdot b nach h umstellen
- 1h wird mit b multipliziert, also teilst du durch b.
- 2| :b: \frac{A}{b} = h
- 3Seiten tauschen: h = \frac{A}{b}
- 4Die Division ist nur für b \neq 0 erlaubt.
Beispiel: U = 2(a + b) nach a umstellen
- 1| :2: \frac{U}{2} = a + b
- 2| −b: \frac{U}{2} - b = a
- 3Ergebnis: a = \frac{U}{2} - b
- 4Mit U = 30 cm und b = 6 cm: a = 30 cm : 2 − 6 cm = 9 cm
- 5Probe: 2 · (9 cm + 6 cm) = 30 cm
Teste dich
Steht die gesuchte Variable im Nenner, beseitigst du den Nenner zuerst durch Multiplikation. Danach ist meist noch eine Division nötig. Bei v = \frac{s}{t} muss t \neq 0 gelten, und nach dem Umstellen darfst du nicht durch v = 0 teilen. Steht die Variable im Quadrat, isolierst du zuerst das Quadrat und ziehst danach die Wurzel. Aus x^2 = 9 folgen ohne Sachzusammenhang x = 3 und x = -3. Prüfe mögliche Ergebnisse deshalb in der Ausgangsformel und im Sachzusammenhang: Ein Radius ist nie negativ.
Beispiel: v = \frac{s}{t} nach t umstellen
- 1| ·t: v \cdot t = s
- 2| :v: t = \frac{s}{v}
- 3Mit s = 30 km und v = 15 km/h: t = 30 km : 15 km/h = 2 h
- 4Die Kilometer kürzen sich, übrig bleibt die Stunde.
- 5Probe: 30 km : 2 h = 15 km/h
Beispiel: A = \pi r^2 nach r umstellen
- 1| :π: \frac{A}{\pi} = r^2
- 2Wurzel ziehen: r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}
- 3Mit A = 49\pi\,\mathrm{cm}^2: r = \sqrt{49\,\mathrm{cm}^2} = 7\,\mathrm{cm}
- 4Nur die positive Wurzel zählt, weil ein Radius nicht negativ ist.
Teste dich
Stelle zuerst mit Buchstaben um und setze erst danach Zahlen ein. So bleibt die Rechnung übersichtlich, und du kannst dieselbe Umstellung für andere Werte wieder benutzen. Rechne die Einheiten mit: Sie zeigen dir, ob das Ergebnis passt. Aus \mathrm{N/kg} wird zum Beispiel mit 1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m/s^2} die Einheit \mathrm{m/s^2}. Zum Schluss setzt du dein Ergebnis in die Ausgangsformel ein. Typische Fehlerquellen sind: nur eine Seite verändern, die falsche Gegenoperation wählen, durch null teilen und die Einheiten vergessen.
Beispiel: F = m \cdot a nach a umstellen und einsetzen
- 1| :m: a = \frac{F}{m} (für m \neq 0)
- 2Mit F = 20 N und m = 10 kg: a = 20 N : 10 kg = 2 m/s²
- 3Einheit: \mathrm{N/kg} = \mathrm{m/s^2}
- 4Probe: 10 kg · 2 m/s² = 20 N
Merke: Erst umstellen, dann einsetzen, dann prüfen. Die Probe in der Ausgangsformel zeigt dir sofort, ob die Umstellung stimmt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Formeln umstellen
Ziel
die gesuchte Variable allein auf eine Seite bringen
Grundregel
beide Seiten immer gleich verändern
Gegenoperation
Faktor durch Division, Summand durch Subtraktion entfernen
Nenner und Quadrat
erst mit dem Nenner multiplizieren, zum Schluss die Wurzel ziehen
Sicherheit
nie durch null teilen
Kontrolle
erst umstellen, dann Werte einsetzen und die Probe machen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
A = \frac{g \cdot h}{2} nach h umstellen, A = 30\,\mathrm{cm}^2, g = 12\,\mathrm{cm}
- 1| ·2: 2A = g \cdot h
- 2| :g: h = \frac{2A}{g} (für g \neq 0)
- 3Einsetzen: h = 2 · 30 cm² : 12 cm = 5 cm
- 4Probe: 12 cm · 5 cm : 2 = 30 cm²
Fehler finden
U = 2(a + b) nach a umstellen, U = 40\,\mathrm{cm}, b = 8\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die 2 gilt für die ganze Klammer, also auch für b: 2(a + b) = 2a + 2b. Ziehst du nur einmal b ab, bleibt U - b = 2a + b. Teile zuerst durch 2 und ziehe dann b ab: a = \frac{U}{2} - b, also 40 cm : 2 − 8 cm = 12 cm. Probe: 2 · (12 cm + 8 cm) = 40 cm.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Suchst du bei v = \frac{s}{t} die Zeit, multiplizierst du zuerst beide Seiten mit . Einen Faktor entfernst du durch . Steht die gesuchte Variable im Quadrat, ziehst du zum Schluss die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback