Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Ausklammern und Ausmultiplizieren einfach erklärt
Ausmultiplizieren löst Klammern auf, Ausklammern setzt sie. Du lernst beide Richtungen des Distributivgesetzes und wie du dich selbst kontrollierst.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Beim Ausmultiplizieren multiplizierst du den Faktor vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer: a(b + c) = ab + ac. Beim Ausklammern gehst du rückwärts und ziehst einen Faktor, der in jedem Glied steckt, vor die Klammer: 9x + 12xy = 3x(3 + 4y). Beides beruht auf dem Distributivgesetz.
Beim Ausmultiplizieren verteilst du einen Faktor auf alle Glieder in einer Klammer. Beim Ausklammern gehst du den Weg zurück: Du ziehst einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer. Beide Umformungen beruhen auf dem Distributivgesetz und verändern den Wert des Terms nicht.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Das Distributivgesetz beschreibt zwei entgegengesetzte Richtungen: a(b + c) = ab + ac und a(b - c) = ab - ac. Von links nach rechts multiplizierst du aus, von rechts nach links klammerst du aus. Der Wert des Terms bleibt in beiden Richtungen gleich. Der Faktor darf wegen des Kommutativgesetzes vor oder hinter der Klammer stehen: 5(3x + 1) und (3x + 1) \cdot 5 bedeuten dasselbe.
Definition
Ausmultiplizieren
Beim Ausmultiplizieren wird der Faktor vor oder hinter einer Klammer mit jedem Glied in der Klammer multipliziert. Aus einem Produkt entsteht eine Summe oder Differenz.
Definition
Ausklammern
Beim Ausklammern wird ein gemeinsamer Faktor aller Glieder vor die Klammer gezogen. Aus einer Summe oder Differenz entsteht ein Produkt. Diese Umformung heißt auch Faktorisieren.
Merke: Ausmultiplizieren verteilt einen Faktor. Ausklammern sammelt einen gemeinsamen Faktor ein.
Teste dich
Multipliziere den äußeren Faktor zuerst mit dem ersten Glied der Klammer, dann mit jedem weiteren Glied. Übernimm die Rechenzeichen und fasse zum Schluss nur gleichartige Glieder zusammen. Bei einer Differenz bleibt das Minus erhalten: 2(5y - 3x) = 10y - 6x. Steht nur ein Minus vor der Klammer, kannst du es als Faktor -1 auffassen: -(3x - 4) = -1 \cdot (3x - 4) = -3x + 4. Dadurch wechseln alle Vorzeichen in der Klammer.
Beispiel: 5(3x + 1) ausmultiplizieren
- 15(3x + 1) = 5 \cdot 3x + 5 \cdot 1
- 25(3x + 1) = 15x + 5
- 3Auch die 1 ist ein Glied der Klammer und wird mit 5 multipliziert.
Beispiel: 6x(2x + 1) ausmultiplizieren
- 16x(2x + 1) = 6x \cdot 2x + 6x \cdot 1
- 26x \cdot 2x = 12x^2, weil x \cdot x = x^2 ist
- 36x(2x + 1) = 12x^2 + 6x
Teste dich
Ausklammern darfst du nur einen Faktor, der in jedem Glied vorkommt. Suche zuerst den größten gemeinsamen Zahlenfaktor, dann die Variablen, die in allen Gliedern stehen. Schreibe diesen Faktor vor die Klammer und teile jedes Glied durch ihn: Die Quotienten kommen in die Klammer. So wird zum Beispiel 33abc - 44daf = 11a(3bc - 4df), denn 11 und a stecken in beiden Gliedern. Zur Kontrolle multiplizierst du das Ergebnis wieder aus: Kommt der Ausgangsterm heraus, stimmt die Umformung.
Beispiel: 9x + 12xy möglichst weit ausklammern
- 1Gemeinsamer Zahlenfaktor von 9 und 12: 3
- 2Jedes Glied enthält x, also 3x ausklammern.
- 39x : 3x = 3 und 12xy : 3x = 4y
- 49x + 12xy = 3x(3 + 4y)
- 5Probe: 3x \cdot 3 = 9x und 3x \cdot 4y = 12xy
Merke: Ausklammern darfst du nur, was in jedem Glied steht. Bei 9x + 12xy darf das y nicht vor die Klammer, weil 9x kein y enthält.
Teste dich
Das Gesetz hilft nicht nur bei Termen mit Variablen. Du kannst eine Zahl als runde Zahl plus oder minus einen Rest schreiben und dann ausmultiplizieren. Umgekehrt kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, damit in der Klammer eine runde Summe entsteht. Selbst längere Terme werden so kurz: 3 · 16 + 3 · (20 − 16) = 3 · (16 + 20 − 16) = 3 · 20 = 60.
Beispiel: 7 · 28 im Kopf
- 1Zerlege 28 = 30 − 2.
- 27 · 28 = 7 · (30 − 2)
- 37 · (30 − 2) = 7 · 30 − 7 · 2
- 47 · 30 − 7 · 2 = 210 − 14 = 196
Beispiel: 17 · 174 + 17 · 26 geschickt
- 1Beide Produkte enthalten den Faktor 17.
- 217 · 174 + 17 · 26 = 17 · (174 + 26)
- 317 · (174 + 26) = 17 · 200 = 3400
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ausklammern und Ausmultiplizieren
Ausmultiplizieren
Faktor auf alle Glieder verteilen, aus dem Produkt wird eine Summe
Vorzeichen
Ein Minus vor der Klammer wechselt alle Vorzeichen
Ausklammern
gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen, aus der Summe wird ein Produkt
In der Klammer
die Glieder geteilt durch den ausgeklammerten Faktor
Anwendung
Terme umformen und geschickt rechnen
Kontrolle
in der Gegenrichtung zurückrechnen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
12a^2 - 18ab ausklammern und prüfen
- 1Gemeinsamer Zahlenfaktor von 12 und 18: 6
- 2Beide Glieder enthalten a, also 6a ausklammern.
- 312a^2 : 6a = 2a und 18ab : 6a = 3b
- 412a^2 - 18ab = 6a(2a - 3b)
- 5Probe: 6a \cdot 2a = 12a^2 und 6a \cdot (-3b) = -18ab
Fehler finden
2(3x + 4) + 5x vereinfachen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die 4 wurde nicht mit 2 multipliziert. Richtig: 2(3x + 4) + 5x = 6x + 8 + 5x = 11x + 8.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim wird eine Klammer aufgelöst. Beim entsteht eine Klammer. Beide Richtungen beruhen auf dem .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback