Mathematik · Klasse 5–7 · aktualisiert
Flächeninhalt Dreieck: Formel, Höhe und Beispiele
Die Dreiecksfläche ist Grundseite mal Höhe durch 2. Du lernst, die passende Höhe zu finden, Einheiten anzugleichen und eine fehlende Höhe zu berechnen.
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Kurz gesagt
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit A = \frac{g \cdot h}{2}: Grundseite mal zugehörige Höhe, geteilt durch 2. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite. Bei g = 7{,}2\,\mathrm{cm} und h = 4{,}5\,\mathrm{cm} ist A = 16{,}2\,\mathrm{cm^2}.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit Grundseite mal zugehörige Höhe, geteilt durch 2: A = \frac{g \cdot h}{2}. Dabei müssen Grundseite und Höhe in derselben Längeneinheit angegeben sein. Hier lernst du, das passende Paar aus Grundseite und Höhe zu erkennen, die Formel zu verstehen und sicher anzuwenden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Du darfst jede Seite des Dreiecks als Grundseite wählen. Entscheidend ist dann, dass du genau die Höhe verwendest, die zu dieser Seite gehört. Ein Dreieck besitzt drei mögliche Grundseiten und dazu drei Höhen. Für eine Berechnung brauchst du aber nur ein passendes Paar. Wählst du zum Beispiel die Seite c als Grundseite, brauchst du die Höhe h_c. Eine schräge Seite, die am gegenüberliegenden Eckpunkt endet, ist nicht automatisch die Höhe. Nur eine Strecke im 90^\circ-Winkel zur Geraden durch c passt.
Definition
Grundseite
Die Grundseite g ist die Dreiecksseite, auf die du dich bei der Flächenberechnung beziehst. Sie muss nicht unten liegen.
Definition
Höhe
Die zugehörige Höhe h ist die senkrechte Strecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Geraden, auf der die Grundseite liegt. Senkrecht bedeutet: Grundlinie und Höhe bilden einen Winkel von 90^\circ. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann der Fußpunkt der Höhe außerhalb der Grundseite auf ihrer Verlängerung liegen.
Teste dich
Stell dir eine zweite, gleich große Kopie des Dreiecks vor. Beide Dreiecke lassen sich zu einem Parallelogramm mit derselben Grundseite g und derselben Höhe h zusammensetzen. Dieses Parallelogramm hat den Flächeninhalt A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h. Es besteht aus zwei flächengleichen Dreiecken. Ein Dreieck nimmt deshalb genau die Hälfte ein: A_{\text{Dreieck}} = \frac{g \cdot h}{2}
Merke: Das Produkt g \cdot h gehört zum ganzen Parallelogramm. Das Dreieck ist davon die Hälfte. Darum steht in der Dreiecksformel der Divisor 2.
Teste dich
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Wähle eine Grundseite und die zugehörige senkrechte Höhe. Bringe beide Längen in dieselbe Einheit. Setze die Werte in A = \frac{g \cdot h}{2} ein. Multipliziere und halbiere. Schreibe das Ergebnis mit einer quadratischen Einheit, zum Beispiel \mathrm{cm^2}. Verwechsle dabei Fläche und Umfang nicht: Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen und hat eine Längeneinheit wie \mathrm{cm}. Der Flächeninhalt beschreibt das eingeschlossene Gebiet und hat eine Einheit wie \mathrm{cm^2}.
Beispiel: Dreieck mit g = 7{,}2\,\mathrm{cm} und h = 4{,}5\,\mathrm{cm}
- 1A = \frac{7{,}2\,\mathrm{cm} \cdot 4{,}5\,\mathrm{cm}}{2}
- 2Multiplizieren: 7,2 cm · 4,5 cm = 32,4 cm²
- 3Halbieren: 32,4 cm² : 2 = 16,2 cm²
- 4Die Einheit ist quadratisch, weil zwei Längen multipliziert wurden.
Beispiel: Erst die Einheiten angleichen: g = 6\,\mathrm{cm} und h = 0{,}03\,\mathrm{m}
- 1Umrechnen: 0,03 m = 3 cm
- 2A = \frac{6\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm}}{2} = 9\,\mathrm{cm^2}
- 3Wer 6 und 0,03 ohne Umrechnen einsetzt, erhält das falsche Ergebnis 0,09 cm².
Teste dich
In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten senkrecht aufeinander. Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Du kannst sie direkt als Grundseite und Höhe verwenden. Kennst du die Fläche A und die Grundseite g, kannst du die Formel nach der Höhe umstellen: h = \frac{2A}{g}. Nur die drei Winkel eines Dreiecks reichen dagegen nicht aus, um seine Fläche festzulegen. Dreiecke können dieselben Winkel haben, aber unterschiedlich groß sein. Du brauchst zusätzlich mindestens eine passende Längenangabe.
Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 2 cm
- 1Die Katheten stehen senkrecht aufeinander: eine ist Grundseite, die andere Höhe.
- 2A = \frac{6\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm}}{2} = 6\,\mathrm{cm^2}
Beispiel: Fehlende Höhe bei A = 18\,\mathrm{cm^2} und g = 6\,\mathrm{cm}
- 1Formel umstellen: h = \frac{2A}{g}
- 2h = \frac{2 \cdot 18\,\mathrm{cm^2}}{6\,\mathrm{cm}} = 6\,\mathrm{cm}
- 3Probe: \frac{6 \cdot 6}{2} = 18
Teste dich
Alles auf einen Blick
Flächeninhalt Dreieck
Passendes Paar
Grundseite und senkrechte Höhe
Grundformel
A = \frac{g \cdot h}{2}
Begründung
Hälfte eines Parallelogramms
Einheiten
vorher angleichen, Ergebnis in cm² oder m²
Rechtwinklig
die Katheten sind Grundseite und Höhe
Fehlende Höhe
h = \frac{2A}{g}
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie groß ist ein dreieckiges Segel mit g = 2{,}4\,\mathrm{m} und h = 125\,\mathrm{cm}?
- 1Einheiten angleichen: 125 cm = 1,25 m
- 2Einsetzen: A = \frac{2{,}4\,\mathrm{m} \cdot 1{,}25\,\mathrm{m}}{2}
- 3Multiplizieren: 2,4 m · 1,25 m = 3 m²
- 4Halbieren: 3 m² : 2 = 1,5 m²
- 5Das Segel ist 1,5 m² groß.
Fehler finden
Dreieck mit g = 12\,\mathrm{cm} und h = 0{,}05\,\mathrm{m} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Höhe steht in Metern, die Grundseite in Zentimetern. Erst umrechnen: 0{,}05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{cm}. Dann gilt A = \frac{12\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm}}{2} = 30\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Dreiecksfläche brauchst du eine Grundseite und die zugehörige Höhe. Vor dem Einsetzen bringst du beide Längen in . Das Ergebnis erhält eine .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback