Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
e-Funktion: Eigenschaften, Ableitung und ln
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung. Du lernst ihren Graphen kennen, rechnest mit e-Potenzen, löst Gleichungen mit ln und leitest ab.
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Kurz gesagt
Die e-Funktion ist die Exponentialfunktion f(x) = e^x zur Basis e \approx 2{,}718. Ihr Graph geht durch (0 \mid 1), steigt streng und bleibt immer über der x-Achse. Sie ist ihre eigene Ableitung: (e^x)' = e^x. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus ln.
Die e-Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x. Ihre besondere Eigenschaft: Sie ist ihre eigene Ableitung. Deshalb steckt sie in fast jedem Wachstums- und Zerfallsmodell der Oberstufe. Ihr Graph liegt immer über der x-Achse, geht durch (0 \mid 1) und wächst streng. Hier lernst du die Grundfunktion kennen, rechnest mit e-Potenzen, löst Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus und leitest verkettete e-Funktionen ab.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Zahl e \approx 2{,}718 ist eine feste irrationale Zahl, ähnlich wie \pi. Bei f(x) = e^x steht die Variable im Exponenten, deshalb ist f eine Exponentialfunktion. Daraus folgen die wichtigsten Merkmale. e^x ist für jedes reelle x definiert und immer positiv. Wegen e^0 = 1 schneidet der Graph die y-Achse bei (0 \mid 1). Die Grundfunktion hat keine Nullstelle und ist streng monoton steigend. Für x \to -\infty nähert sich e^x der Zahl 0, erreicht sie aber nie. Für x \to \infty wächst e^x unbegrenzt. Die x-Achse, also die Gerade y = 0, ist eine waagrechte Asymptote: Der Graph kommt ihr beliebig nahe, ohne sie zu schneiden.
Definition
Natürliche Exponentialfunktion
Die Funktion f(x) = e^x heißt natürliche Exponentialfunktion oder kurz e-Funktion. Ihr Definitionsbereich ist \mathbb{R}, ihr Wertebereich ist (0, \infty).
Merke: „Sehr nahe bei null“ bedeutet nicht „gleich null“. Für jedes reelle x gilt e^x > 0.
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Für e-Potenzen gelten dieselben Potenzregeln wie für andere Potenzen mit gleicher Basis: e^a \cdot e^b = e^{a+b}, \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b} und (e^a)^b = e^{ab}. Außerdem gilt e^{-a} = \frac{1}{e^a}. Für Summen gibt es keine solche Regel: e^x + e^{2x} ist nicht e^{3x}. Du kannst aber ausklammern: e^x + e^{2x} = e^x(1 + e^x). Der natürliche Logarithmus \ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Für jedes reelle u gilt \ln(e^u) = u, und für jedes z > 0 gilt e^{\ln z} = z. Der Zusatz z > 0 ist nötig, weil \ln z nur für positive Zahlen definiert ist. Deshalb hat e^u = 0 keine Lösung, und bei e^{2x}(x^2 - 2) = 0 kann nur der zweite Faktor null werden: x = \pm\sqrt{2}.
Beispiel: (e^x)^2 \cdot e^x vereinfachen
- 1Potenz einer Potenz: (e^x)^2 = e^{2x}
- 2Gleiche Basis, Exponenten addieren: e^{2x} \cdot e^x = e^{3x}
Beispiel: e^{2x} = 5 lösen
- 1Die e-Potenz steht schon allein.
- 2Logarithmieren: \ln(e^{2x}) = \ln 5
- 3Umkehrbeziehung: 2x = \ln 5
- 4Durch 2 teilen: x = \frac{\ln 5}{2} \approx 0{,}805
- 5Probe: e^{2 \cdot \frac{\ln 5}{2}} = e^{\ln 5} = 5
Merke: Erst die e-Potenz allein stellen, dann logarithmieren. Bei e^u = 0 oder e^u = -3 gibt es keine Lösung, denn jede e-Potenz ist positiv.
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Die Sonderrolle von e zeigt sich beim Ableiten: (e^x)' = e^x. Funktionswert und Steigung stimmen an jeder Stelle überein. Da e^x > 0 ist, ist auch die Steigung stets positiv. Das erklärt, warum der Graph überall steigt. Steht im Exponenten eine Funktion g(x), brauchst du die Kettenregel: (e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}. Für Stammfunktionen gilt \int e^x \, dx = e^x + C. Bei einem linearen Exponenten ax + b mit a \neq 0 teilst du durch die innere Ableitung a: \int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C. Diese Regel lässt sich nicht auf nichtlineare Exponenten übertragen. Bei e^{x^2} fehlt zum Beispiel der passende konstante innere Faktor.
Beispiel: f(x) = e^{3x-2} ableiten
- 1Innere Funktion: g(x) = 3x - 2
- 2Innere Ableitung: g'(x) = 3
- 3Die e-Potenz bleibt: f'(x) = 3e^{3x-2}
Beispiel: Eine Stammfunktion von e^{4x+1} finden
- 1Linearer Exponent mit a = 4
- 2F(x) = \frac{1}{4} e^{4x+1}
- 3Probe: F'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4e^{4x+1} = e^{4x+1}
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Eigenschaften der Grundfunktion darfst du nicht blind auf veränderte e-Funktionen übertragen. Bei h(x) = e^x + c verschiebt sich der Graph um c Einheiten nach oben oder unten. Die waagrechte Asymptote ist dann y = c, der Wertebereich (c, \infty). Auch jede Exponentialfunktion b^x mit b > 0 lässt sich auf die Basis e umschreiben, denn b = e^{\ln b}. Daraus folgt b^x = e^{x \ln b}. Diese Darstellung erklärt die Ableitung: (b^x)' = \ln(b) \cdot e^{x \ln b} = b^x \ln(b).
Beispiel: Nullstelle von h(x) = e^x - 3
- 1Asymptote: y = -3
- 2e^x - 3 = 0
- 3e^x = 3
- 4x = \ln(3) \approx 1{,}099
Merke: „Keine Nullstelle“ gilt nur für die unverschobene Grundfunktion e^x. Nach einer Verschiebung nach unten kann es eine Nullstelle geben.
Teste dich
Alles auf einen Blick
e-Funktion
Graph
positiv, streng steigend, durch (0 \mid 1)
Grenzverhalten
links gegen 0, rechts gegen \infty
Rechnen
Potenzregeln gelten für Produkte, nicht für Summen
Gleichungen
e-Potenz allein stellen, dann mit \ln lösen
Ableiten
(e^x)' = e^x, bei e^{g(x)} mit Kettenregel
Verschiebung
e^x + c hat die Asymptote y = c
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
2e^{3x} + 1 = 11 lösen
- 1Minus 1: 2e^{3x} = 10
- 2Durch 2: e^{3x} = 5
- 3Logarithmieren: 3x = \ln 5
- 4Durch 3: x = \frac{\ln 5}{3} \approx 0{,}536
- 5Probe: 2e^{\ln 5} + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11
Fehler finden
5e^{2x} = 40 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Vor dem Logarithmieren muss die e-Potenz allein stehen. Erst durch 5 teilen: e^{2x} = 8. Dann 2x = \ln 8 und x = \frac{\ln 8}{2} \approx 1{,}040.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die e-Funktion nimmt nur Werte an. Ihre Ableitung ist . Gleichungen wie e^{2x} = 5 löst du mit dem .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback