Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Formel und Aufgaben
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt nur unter einer Zusatzinformation. Du lernst die Formel, die Vierfeldertafel, die Leserichtung und die Unabhängigkeit.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A\mid B) gibt an, wie wahrscheinlich A ist, wenn B schon feststeht. Du rechnest P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} mit P(B)>0, also gemeinsame Fälle durch Bedingungsfälle. Beispiel: 6 von 15 Mädchen sind blond, also P(\text{blond}\mid\text{weiblich})=\frac{6}{15}=40\,\%.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, wenn eine Zusatzinformation bereits feststeht. Du betrachtest dann nicht mehr alle möglichen Fälle, sondern nur noch die Fälle, welche die Bedingung erfüllen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Klasse mit 30 Personen vor. Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, eine blonde Person auszuwählen. Ohne weitere Information betrachtest du alle 30 Personen. Erfährst du aber, dass die ausgewählte Person weiblich ist, bleiben nur die 15 weiblichen Personen übrig. Diese kleinere Gruppe ist deine neue Grundgesamtheit. Typische Signalwörter für eine Bedingung sind „unter der Bedingung, dass“ und „wenn bekannt ist, dass“.
Definition
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Schreibweise P(A\mid B) bedeutet: Wie wahrscheinlich ist das Ereignis A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist? Links vom Strich steht das Gesuchte, rechts davon die Bedingung.
Merke: Lies P(A\mid B) so: „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.“ Die Bedingung rechts vom Strich legt die neue Grundgesamtheit fest.
Teste dich
Für zwei Ereignisse A und B gilt: P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} Dabei muss P(B)>0 gelten, denn eine Bedingung mit Wahrscheinlichkeit null kann keine neue Grundgesamtheit sein. Das Zeichen A\cap B bezeichnet die Schnittmenge: Beide Ereignisse treten gemeinsam ein. Du gehst in vier Schritten vor: Bestimme die Bedingung B. Suche innerhalb von B die Fälle, in denen auch A gilt. Bilde den Anteil dieser gemeinsamen Fälle an allen Bedingungsfällen. Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen 0 und 1 liegt. Besonders übersichtlich wird das mit einer Vierfeldertafel. Sie ordnet zwei Ereignisse, ihre Gegenereignisse und die Summen. Für die Klasse sieht sie so aus:
| blond | nicht blond | insgesamt | |
|---|---|---|---|
| weiblich | 6 | 9 | 15 |
| männlich | 4 | 11 | 15 |
| insgesamt | 10 | 20 | 30 |
Beispiel: Blond, wenn weiblich
- 1A: blond, B: weiblich
- 2Gemeinsames Feld „blond und weiblich“: 6
- 3Summe der Bedingungszeile „weiblich“: 15
- 4P(A\mid B)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0{,}4=40\,\%
- 5Unter den weiblichen Personen sind 40 % blond.
Merke: In der Vierfeldertafel teilst du das gemeinsame Feld durch die Summe der Zeile oder Spalte, die die Bedingung beschreibt.
Teste dich
P(A\mid B) und P(B\mid A) verwenden dieselbe Schnittmenge, aber verschiedene Grundgesamtheiten: P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \qquad P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} Die Zusatzinformation entscheidet über den Nenner. Deshalb führen dieselben gemeinsamen Fälle zu unterschiedlichen Ergebnissen. Die Bayes-Formel verbindet beide Richtungen: P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)} Sie hilft, wenn ein beobachtetes Ergebnis B bekannt ist und du die Wahrscheinlichkeit einer möglichen Ursache A suchst.
Beispiel: Beide Richtungen in der Klassentafel
- 1Blond, wenn weiblich: Grundgesamtheit sind die 15 weiblichen Personen.
- 2P(\text{blond}\mid\text{weiblich})=\frac{6}{15}=40\,\%
- 3Weiblich, wenn blond: Grundgesamtheit sind die 10 blonden Personen.
- 4P(\text{weiblich}\mid\text{blond})=\frac{6}{10}=60\,\%
Teste dich
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Sind P(A)>0 und P(B)>0, kannst du gleichwertig prüfen, ob P(A\mid B)=P(A) gilt. Unabhängigkeit ist nicht dasselbe wie Unvereinbarkeit. Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten, ihre Schnittmenge ist also leer. Unabhängige Ereignisse dürfen dagegen durchaus gemeinsam eintreten.
Definition
Produktkriterium
A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) gilt.
Beispiel: Förderkurs und AG
- 130 % besuchen einen Förderkurs, 60 % eine AG, 15 % beides.
- 2Gegeben: P(F\cap AG)=0{,}15
- 3Bei Unabhängigkeit: P(F)\cdot P(AG)=0{,}3\cdot 0{,}6=0{,}18
- 40{,}15\ne 0{,}18: Die Ereignisse sind nicht unabhängig.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Leserichtung
Gesuchtes links vom Strich, Bedingung rechts
Berechnung
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} mit P(B)>0
Darstellung
Mengen, Vierfeldertafel oder Baumdiagramm
Richtungswechsel
anderer Nenner, die Bayes-Formel verbindet beide Richtungen
Unabhängigkeit
Produktkriterium P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) prüfen
Abgrenzung
Unabhängigkeit ist nicht Unvereinbarkeit
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Instrument, wenn Haustier
- 1200 Jugendliche: 80 haben ein Haustier, 60 spielen ein Instrument, 30 beides.
- 2H: Haustier, I: Instrument. Bedingung H: 80 Fälle, gemeinsam: 30
- 3P(I\mid H)=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%
- 4Andere Richtung: P(H\mid I)=\frac{30}{60}=0{,}5=50\,\%
- 5Vergleich: P(I)=\frac{60}{200}=0{,}3 und 0{,}3\ne 0{,}375, also sind H und I nicht unabhängig.
Fehler finden
P(B\mid J) in einem Kurs mit 25 Personen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Rechts vom Strich steht J, also ist „Junge“ die Bedingung. In den Nenner gehören die 12 Jungen: P(B\mid J)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx 0{,}33.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei P(A\mid B) steht das links vom Strich. Das Ereignis rechts vom Strich bildet die . Im Zähler steht die A\cap B, im Nenner P(B).
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback