Binomischer Lehrsatz einfach erklärt

Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern, zum Beispiel a+b oder a-b. Für eine nichtnegative ganze Zahl n gilt (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k Dabei läuft der Index k von 0 bis n. Für jeden Wert von k entsteht genau ein Glied \binom{n}{k} a^{n-k} b^k. Warum zählt \binom{n}{k} die passenden Produkte? Schreibe (a+b)^n als Produkt aus n gleichen Klammern. Für das Glied a^{n-k} b^k wählst du aus genau k Klammern ein b und aus den übrigen n-k Klammern ein a. Für n = 2 erhältst du die 1. binomische Formel (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Mit Fakultäten kannst du jeden Binomialkoeffizienten berechnen: \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}. Die Fakultät n! ist das Produkt der positiven ganzen Zahlen von n bis 1, zum Beispiel 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. Außerdem gilt 0! = 1. Alternativ liest du die Koeffizienten aus dem Pascalschen Dreieck ab. Jede Zeile beginnt und endet mit 1, jede innere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber. Die Zahlen einer Zeile sind symmetrisch, deshalb gilt \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.

Gehe bei (a+b)^n immer in derselben Reihenfolge vor. Schreibe zuerst die Koeffizienten \binom{n}{0} bis \binom{n}{n} auf. Lass dann die Potenz des ersten Glieds von n bis 0 fallen und die Potenz des zweiten Glieds von 0 bis n steigen. Vereinfache danach Zahlen und Potenzen. Prüfe zum Schluss Gliederzahl, Exponentensummen und Randglieder. Wichtig: Steht vor einer Variablen eine Zahl wie bei 2x, wird sie mitpotenziert.

Eine Differenz behandelst du als Summe mit einem negativen zweiten Glied: (a-b)^n = (a+(-b))^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k. Bei geradem k ist (-b)^k positiv, bei ungeradem k negativ. Deshalb wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied. Der Lehrsatz in dieser Form gilt für n \in \mathbb{N}_0. Eine Potenz mit negativem oder nicht ganzzahligem Exponenten führt im Allgemeinen nicht zu diesen endlich vielen n+1 Gliedern.