Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Binomialverteilung: Formel, Beispiele, Aufgaben
Die Binomialverteilung gibt an, wie wahrscheinlich eine Trefferzahl ist. Du lernst, das Modell zu prüfen und mit genau, höchstens und mindestens zu rechnen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Binomialverteilung beschreibt die Trefferzahl X bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. Für genau k Treffer gilt P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}. Im Mittel erwartest du E(X) = n \cdot p Treffer.
Du würfelst zehnmal. Wie wahrscheinlich sind genau vier Sechsen? Und wie wahrscheinlich mindestens zwei? Die Binomialverteilung beschreibt, wie wahrscheinlich 0, 1, 2, … bis n Treffer in einer festen Zahl gleichartiger, unabhängiger Versuche sind. Du prüfst zuerst das Modell, übersetzt dann das Ereignis in eine Bedingung an die Trefferzahl X und wählst die passende Rechnung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, ein Würfel wird zehnmal geworfen. Als Treffer gilt eine Sechs, alle anderen Augenzahlen gelten als Nichttreffer. Die Zufallsvariable X zählt die Treffer. Für eine Binomialverteilung müssen vier Bedingungen erfüllt sein. Erstens steht die Anzahl der Versuche n vorher fest. Zweitens wird jeder Versuch nur als Treffer oder Nichttreffer bewertet. Drittens bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant. Viertens sind die Versuche unabhängig: Ein Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Versuche nicht. Beim zehnmaligen Würfeln gilt n = 10 und p = \frac{1}{6}, alle vier Bedingungen sind erfüllt. Beim Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen ändert sich dagegen meist die Zusammensetzung der Urne. Dann ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, und die Versuche sind nicht unabhängig. Dieses Modell ist im Allgemeinen nicht binomialverteilt.
Definition
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette besteht aus wiederholten Versuchen mit genau zwei betrachteten Ausgängen: Treffer und Nichttreffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt in jedem Versuch gleich, und die Versuche sind unabhängig.
Merke: Zwei mögliche Ausgänge allein reichen nicht. Prüfe immer auch: festes n, konstantes p und unabhängige Versuche.
Teste dich
Sei X die Trefferzahl in n Versuchen. Eine ganz bestimmte Reihenfolge mit k Treffern und n-k Nichttreffern hat die Wahrscheinlichkeit p^k \cdot (1-p)^{n-k}. Die Treffer können aber an verschiedenen Positionen liegen. Der Binomialkoeffizient \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} zählt diese Anordnungen. Dabei bedeutet n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n, und es gilt 0! = 1. Weil jede der \binom{n}{k} Anordnungen dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, multiplizierst du beide Teile. \binom{n}{k} zählt, wie viele Trefferanordnungen möglich sind. p^k \cdot (1-p)^{n-k} ist die Wahrscheinlichkeit einer solchen Anordnung.
Definition
Binomialverteilung
Ist X die Trefferzahl einer Bernoulli-Kette mit Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p, dann gilt für k = 0, 1, \ldots, n: P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
Beispiel: Genau vier Sechsen bei zehn Würfen
- 1n = 10, p = \frac{1}{6} und k = 4
- 2\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210
- 3P(X=4) = 210 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6
- 4P(X=4) = \frac{546875}{10077696} \approx 0{,}0543
- 5Genau vier Sechsen kommen mit etwa 5{,}43\,\% Wahrscheinlichkeit vor.
Teste dich
Die Trefferzahl X ist ganzzahlig. Die Wörter in der Aufgabe bestimmen, welche Einzelwahrscheinlichkeiten zum Ereignis gehören. Bei „mindestens“ ist das Gegenereignis oft kürzer: Du ziehst die Wahrscheinlichkeit für die wenigen übrigen Trefferzahlen von 1 ab. Auch ein Bereich lässt sich mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten schreiben, zum Beispiel P(1 < X < 4) = P(X \le 3) - P(X \le 1).
| Formulierung | Bedingung | Rechenidee |
|---|---|---|
| genau r | X = r | eine Einzelwahrscheinlichkeit |
| höchstens r | X \le r | von 0 bis r summieren |
| weniger als r | X < r, also X \le r-1 | von 0 bis r-1 summieren |
| mindestens r | X \ge r | oft 1 - P(X \le r-1) |
| mehr als r | X > r, also X \ge r+1 | oft 1 - P(X \le r) |
Beispiel: Mindestens zwei Treffer bei vier Versuchen
- 1n = 4 und p = \frac{1}{3}
- 2Gegenereignis: höchstens ein Treffer, also P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)
- 3P(X=0) = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}
- 4P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{32}{81}
- 5P(X \ge 2) = 1 - \frac{16}{81} - \frac{32}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27} \approx 0{,}407
- 6Mindestens zwei Treffer kommen mit etwa 40{,}7\,\% Wahrscheinlichkeit vor.
Merke: So gehst du bei einer Sachaufgabe vor: Treffer festlegen, die vier Bedingungen prüfen, n, p und X notieren, die Formulierung in eine Bedingung an X übersetzen, rechnen und das Ergebnis im Sachzusammenhang deuten.
Teste dich
Eine vollständige Verteilung ordnet jeder Trefferzahl von 0 bis n ihre Wahrscheinlichkeit zu. In einem Histogramm steht die Trefferzahl auf der waagerechten Achse, die Säulenhöhe zeigt die Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert E(X) = n \cdot p ist die Trefferzahl, die sich langfristig im Mittel ergibt. Die Varianz V(X) = n \cdot p \cdot (1-p) misst die Streuung um diesen Mittelwert. Die Standardabweichung \sigma = \sqrt{V(X)} hat dieselbe Einheit wie X. Bei einer fairen Münze mit p = 0{,}5 ist das Histogramm symmetrisch: Bei zehn Würfen liegt der Erwartungswert bei 10 \cdot 0{,}5 = 5 Treffern, und die größte Säule steht in der Mitte.
Beispiel: Kennwerte für vier Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit ein Drittel
- 1E(X) = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33
- 2V(X) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{9}
- 3\sigma = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}943
- 4In einer einzelnen Viererserie gibt es keine 1,33 Treffer, Trefferzahlen sind ganzzahlig.
- 5Über viele Viererserien liegt der Durchschnitt aber nahe 1,33 Treffern pro Serie.
Merke: Der Erwartungswert ist ein langfristiger Durchschnitt, keine Vorhersage für einen einzelnen Durchgang.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Binomialverteilung
Modell prüfen
festes n, konstantes p, unabhängige Versuche, zwei Ausgänge
Zufallsvariable X
zählt die Treffer von 0 bis n
Genau k Treffer
Binomialkoeffizient mal Wahrscheinlichkeit einer Reihenfolge
Höchstens und mindestens
Einzelwahrscheinlichkeiten summieren oder das Gegenereignis nutzen
Lage
Erwartungswert E(X) = n \cdot p
Streuung
Varianz n \cdot p \cdot (1-p) und Standardabweichung \sigma
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Mindestens 8 von 10 Freiwürfen
- 1Eine Spielerin trifft mit p = 0{,}7 und wirft zehnmal. Die Würfe gelten als unabhängig.
- 2Treffer: Freiwurf gelingt. X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0{,}7.
- 3Gesucht: P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)
- 4P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2 \approx 0{,}2335
- 5P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}7^9 \cdot 0{,}3 \approx 0{,}1211 und P(X=10) = 0{,}7^{10} \approx 0{,}0282
- 6P(X \ge 8) \approx 0{,}3828: Unter diesem Modell trifft sie mit etwa 38{,}3\,\% Wahrscheinlichkeit mindestens achtmal.
Fehler finden
Genau zwei Sechsen bei drei Würfen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Binomialkoeffizient fehlt. Die zwei Sechsen können an \binom{3}{2} = 3 Stellen liegen. Richtig ist P(X=2) = 3 \cdot \frac{5}{216} = \frac{15}{216} \approx 0{,}069, also etwa 6{,}9\,\%.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer Binomialverteilung bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit in jedem Versuch . Für „mindestens zwei Treffer“ rechnest du oft mit dem . Der Erwartungswert ist .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback