Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Drehsymmetrie erkennen und berechnen
Drehsymmetrische Figuren passen nach einer Drehung wieder auf sich. Du lernst, Drehwinkel und Zähligkeit zu bestimmen und Punktsymmetrie einzuordnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um einen festen Punkt mit einem Winkel unter 360° wieder genau auf sich selbst liegt. Für den kleinsten passenden Drehwinkel \alpha und die Zähligkeit n gilt n = 360° : \alpha. Ein Quadrat ist zum Beispiel vierzählig: 360° : 90° = 4.
Du drehst ein Windrad mit drei gleichen Flügeln ein Stück weiter, und es sieht aus wie vorher? Dann ist es drehsymmetrisch. Hier lernst du, wie du Drehsymmetrie prüfst, wie Drehwinkel und Zähligkeit zusammenhängen und warum Punktsymmetrie ein Sonderfall davon ist. Eine volle Drehung um 360° zählt übrigens nicht: Danach sieht jede Figur wieder aus wie vorher.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du drehst eine Figur um einen festen Punkt, den Drehpunkt. Bei regelmäßigen Vielecken ist das die Mitte. Bei anderen Figuren kann er auch außerhalb der Figur liegen. Liegt die Figur nach einer Drehung um weniger als 360° wieder genau auf ihrer Ausgangslage, ist sie drehsymmetrisch. Dabei zählt nicht nur der Rand. Farben, Muster und Markierungen gehören auch zur Figur. Ein Quadrat mit vier verschiedenfarbigen Ecken passt nach 90° zwar mit seinem Rand, sieht aber trotzdem anders aus. Vorsicht bei Blumen, Schneeflocken oder Seesternen: Sie wirken oft drehsymmetrisch, sind es aber meist nur ungefähr. In der Geometrie zählt nur eine exakte Deckung.
Definition
Drehsymmetrie
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn eine Drehung um einen Drehpunkt mit einem Winkel \alpha zwischen 0° und 360° die Figur auf sich selbst abbildet. Das heißt: Nach der Drehung stimmen alle Teile der Figur mit ihrer ursprünglichen Lage überein.
Merke: Prüfe immer die ganze Figur: Form, Farben und Markierungen müssen nach der Drehung übereinstimmen.
Teste dich
Der kleinste Drehwinkel \alpha ist der kleinste positive Winkel, bei dem die Figur wieder passt. Die Zähligkeit n gibt an, wie viele passende Lagen es bei einer vollen Umdrehung gibt. Die Lage bei 360° zählt mit. Es gilt: \alpha = 360° : n \qquad n = 360° : \alpha Die Formel für n gilt nur mit dem kleinsten passenden Drehwinkel. Setzt du bei einer Figur, die schon bei 90° passt, den Winkel 180° ein, bekommst du nicht ihre volle Zähligkeit. So gehst du vor: Drehpunkt suchen, die Figur gedanklich oder mit einer Kopie drehen, den kleinsten passenden Winkel bestimmen, die Zähligkeit berechnen und zum Schluss die passenden Lagen abzählen.
Beispiel: Eine Figur passt erstmals nach 90° wieder auf sich selbst
- 1Kleinster Drehwinkel: 90°
- 2Zähligkeit: 360° : 90° = 4
- 3Passende Lagen: 90°, 180°, 270° und 360°
- 4Die Figur ist vierzählig drehsymmetrisch.
Teste dich
Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Sein Drehpunkt ist der Mittelpunkt. Ein regelmäßiges n-Eck hat n gleiche Ecken. Bei einer vollen Umdrehung gibt es deshalb n passende Lagen: Es ist n-zählig drehsymmetrisch, und sein kleinster Drehwinkel ist 360° : n.
Beispiel: Die Drehsymmetrie eines regelmäßigen Fünfecks bestimmen
- 1Fünf gleiche Ecken, also fünf passende Lagen: n = 5
- 2Kleinster Drehwinkel: 360° : 5 = 72°
- 3Passende Drehungen: 72°, 144°, 216°, 288° und 360°
- 4Das regelmäßige Fünfeck ist fünfzählig drehsymmetrisch.
| Figur | Zähligkeit | Kleinster Drehwinkel |
|---|---|---|
| Gleichseitiges Dreieck | 3 | 360° : 3 = 120° |
| Quadrat | 4 | 360° : 4 = 90° |
| Regelmäßiges Fünfeck | 5 | 360° : 5 = 72° |
Teste dich
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um 180° sie auf sich selbst abbildet. Der Symmetriepunkt ist dabei der Drehpunkt. Weil 180° kleiner als 360° ist, ist jede punktsymmetrische Figur auch drehsymmetrisch. Ihre Zähligkeit hängt vom kleinsten passenden Winkel ab: Ist das 180°, ist sie zweizählig. Passt sie schon bei einem kleineren Winkel, ist die Zähligkeit größer, beim Quadrat zum Beispiel 4. Umgekehrt gilt das nicht: Ein gleichseitiges Dreieck passt bei 120° und 240°, aber nicht bei 180°. Es ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.
Merke: Jede punktsymmetrische Figur ist drehsymmetrisch. Aber nicht jede drehsymmetrische Figur ist punktsymmetrisch. Punktsymmetrie heißt: Eine Drehung um genau 180° passt.
Beispiel: Eine markierte Figur passt nach 180°, aber bei keinem kleineren Winkel
- 1Kleinster Drehwinkel: 180°
- 2Zähligkeit: 360° : 180° = 2
- 3Die Figur ist zweizählig drehsymmetrisch und zugleich punktsymmetrisch.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Drehsymmetrie
Erkennen
exakte Deckung nach einer Drehung um weniger als 360°
Ganze Figur
Form, Farben und Markierungen müssen passen
Drehwinkel
\alpha = 360° : n
Zähligkeit
n = 360° : \alpha, nur mit dem kleinsten Winkel
Regelmäßige Vielecke
ein n-Eck ist n-zählig drehsymmetrisch
Sonderfall
Punktsymmetrie bei 180°
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Windrad mit drei gleichen, gleichmäßig verteilten Flügeln untersuchen
- 1Drehpunkt: die Mitte der Nabe
- 2Bei einer vollen Umdrehung gibt es 3 passende Lagen, also n = 3.
- 3Kleinster Drehwinkel: 360° : 3 = 120°
- 4Passende Drehungen: 120°, 240° und 360°
- 5Nach 180° liegt ein Flügel dort, wo vorher eine Lücke war. Das Windrad ist also nicht punktsymmetrisch.
Fehler finden
Die Zähligkeit eines regelmäßigen Sechsecks bestimmen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3120° passt zwar, ist aber nicht der kleinste Winkel: Schon nach 60° liegt das Sechseck wieder auf sich. Richtig: 360° : 60° = 6, das Sechseck ist sechszählig.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um wieder genau auf sich selbst passt. Die Zähligkeit erhältst du, wenn du 360° durch den passenden Drehwinkel teilst. Punktsymmetrie ist der Sonderfall mit einem Drehwinkel von .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback