Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Drehung in der Geometrie: Konstruieren und prüfen
Bei einer Drehung wandert jeder Punkt auf einem Kreis um das Drehzentrum. Du lernst, Punkte und Figuren zu drehen und dein Ergebnis zu prüfen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Drehung bewegt jeden Punkt P um ein festes Drehzentrum Z um den Drehwinkel \alpha. Für den Bildpunkt P' gilt ZP' = ZP und \angle PZP' = \alpha. Form und Größe der Figur bleiben erhalten. Eine Drehung um 180° ist eine Punktspiegelung.
Der Zeiger einer Uhr, eine Gondel im Riesenrad: Beide bewegen sich um einen festen Punkt. In der Geometrie legen das Drehzentrum Z, der Drehwinkel \alpha und die Drehrichtung genau fest, wo die Bildfigur landet. Hier lernst du, Punkte und Figuren mit Zirkel und Geodreieck zu drehen und dein Ergebnis zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Drehung bildet jeden Punkt P auf einen Bildpunkt P' ab, gesprochen „P Strich“. Stell dir vor, P läuft auf einem Kreis um Z. Der Radius dieses Kreises ist ZP, deshalb ändert sich der Abstand zum Zentrum nicht. Die Drehrichtung gehört zur Aufgabe: Gegen den Uhrzeigersinn heißt linksherum, im Uhrzeigersinn rechtsherum. Ist keine Richtung genannt, drehst du gegen den Uhrzeigersinn, im mathematisch positiven Sinn. Das Zentrum Z selbst bleibt an seinem Platz. Bei jeder Drehung, die keine volle Umdrehung ist, ist Z der einzige Fixpunkt, also der einzige Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird.
Definition
Drehung
Eine Drehung um das Zentrum Z mit dem Drehwinkel \alpha erfüllt für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P' zwei Bedingungen. Beide Punkte haben denselben Abstand vom Zentrum: ZP = ZP'. Und der Winkel zwischen ZP und ZP' ist der Drehwinkel: \angle PZP' = \alpha.
Teste dich
Du brauchst zwei Werkzeuge: den Zirkel für den Abstand und das Geodreieck für den Winkel. Statt einen Kreis zu zeichnen, kannst du die Länge ZA auch messen und auf dem neuen Schenkel abtragen. Der Kreis zeigt aber besonders deutlich, dass die Abstände gleich bleiben.
Beispiel: Punkt A um Z um 60^\circ gegen den Uhrzeigersinn drehen
- 1Zeichne die Strecke ZA.
- 2Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis um Z durch A.
- 3Trage in Z an ZA einen Winkel von 60^\circ gegen den Uhrzeigersinn an.
- 4Der neue Winkelschenkel schneidet den Kreis in A'.
- 5Probe: ZA' = ZA und \angle AZA' = 60^\circ
Merke: Der Kreis sichert den Abstand, der Winkelschenkel die Richtung. Erst beide zusammen legen den Bildpunkt fest.
Teste dich
Du musst nicht jeden Punkt einer Figur einzeln drehen. Bei einem Vieleck genügen die Eckpunkte, bei anderen Figuren die Punkte, die ihre Form bestimmen, etwa Schnittpunkte oder Kreismittelpunkte. Alle werden um dasselbe Zentrum, um denselben Winkel und in dieselbe Richtung gedreht. Zeichnest du nur einen Punkt sauber und die anderen nach Augenmaß, verändern sich Seiten und Winkel. Eine Drehung ist eine Kongruenzabbildung: Ausgangsfigur und Bildfigur sind deckungsgleich. Sie passen ohne Verformen und ohne Umklappen aufeinander. Nur die Lage ändert sich. Die Abstände der einzelnen Punkte zu Z können verschieden sein, aber jeder Punkt behält seinen eigenen Abstand.
Beispiel: Dreieck ABC um Z um 60^\circ gegen den Uhrzeigersinn drehen
- 1Drehe A mit Kreis und 60^\circ-Winkel: So erhältst du A'.
- 2Drehe B und C genauso. Jeder Bildpunkt behält seinen eigenen Abstand zu Z.
- 3Verbinde A', B' und C' in derselben Reihenfolge wie A, B und C.
- 4Prüfe für jeden Punkt Abstand und Drehwinkel.
| Bleibt erhalten | Das heißt |
|---|---|
| Längen | Entsprechende Strecken sind gleich lang. |
| Winkel | Entsprechende Winkel sind gleich groß. |
| Flächeninhalt | Beide Figuren sind gleich groß. |
| Geraden | Eine Gerade wird wieder auf eine Gerade abgebildet. |
| Orientierung | Die Reihenfolge der Eckpunkte bleibt, die Figur wird nicht umgeklappt. |
Teste dich
Bei einer Drehung um 180^\circ landet der Bildpunkt genau auf der gegenüberliegenden Seite des Drehzentrums. So konstruierst du P': Zeichne die Gerade durch P und Z und verlängere sie über Z hinaus. Trage auf der anderen Seite von Z die Länge ZP ab. Dort liegt P'. Eine Drehung um 360^\circ ist dagegen eine volle Umdrehung: Jeder Punkt kehrt an seinen Ausgangsort zurück. Deshalb beschreiben auch Drehwinkel, die sich um 360^\circ oder ein Vielfaches davon unterscheiden, dieselbe Lage, zum Beispiel 30^\circ und 390^\circ.
Definition
Punktspiegelung
Die Punktspiegelung an Z ist eine Drehung um 180^\circ. Für einen Punkt P und seinen Bildpunkt P' gilt: P, Z und P' liegen auf einer Geraden, ZP = ZP', und Z liegt zwischen P und P'.
Merke: Bei einer Drehung um 180^\circ ist Z die Mitte der Strecke PP'.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Drehung
Festgelegt durch
Drehzentrum, Drehwinkel und Drehrichtung
Bildpunkt
ZP = ZP' und \angle PZP' = \alpha
Konstruktion
Kreis für den Abstand, Winkel für die Richtung
Figuren
kennzeichnende Punkte drehen, dann verbinden
Erhalten
Längen, Winkel, Fläche und Orientierung
Sonderfall
Drehung um 180° ist eine Punktspiegelung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Punkt P auf Karopapier um Z um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen
- 1Von Z aus erreichst du P mit 4 Kästchen nach rechts und 1 Kästchen nach oben.
- 2Bei 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht sich dieser Weg mit: Aus 4 nach rechts wird 4 nach oben.
- 3Aus 1 nach oben wird 1 nach links.
- 4Also erreichst du P' von Z aus mit 1 Kästchen nach links und 4 Kästchen nach oben.
- 5Probe mit dem Geodreieck: \angle PZP' = 90^\circ und ZP' = ZP
Fehler finden
Punkt A um Z um 50^\circ im Uhrzeigersinn drehen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Verlangt war eine Drehung im Uhrzeigersinn, der Winkel wurde aber in die Gegenrichtung abgetragen. Richtig: Trage in Z an ZA den Winkel 50^\circ im Uhrzeigersinn an.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer Drehung haben Punkt und Bildpunkt denselben Abstand zum . Die Figur wird dabei . Eine Drehung um ist eine Punktspiegelung.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback