Brüche erweitern: Regel, Zielnenner und Übungen

Für einen Bruch gilt \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}. Dabei darf k nicht 0 sein. Meist nimmst du eine natürliche Zahl größer als 1, denn mit 1 bleibt sogar die Schreibweise gleich. Warum ändert sich der Wert nicht? Zerlegst du jedes von drei gleich großen Stücken noch einmal in drei Teile, entstehen neun kleinere Stücke. Zwei große Stücke entsprechen dann sechs kleinen. Die Stücke werden kleiner, dafür nimmst du mehr davon.

Ist ein Zielnenner vorgegeben, schaust du zuerst nur auf den Nenner: Mit welcher Zahl musst du ihn multiplizieren, um den Zielnenner zu erhalten? Genau diese Zahl verwendest du danach auch beim Zähler. Nicht jeder Nenner ist durch Erweitern erreichbar. Von 6 kommst du zum Beispiel nicht auf 10, denn es gibt keine natürliche Zahl k mit 6 \cdot k = 10. Der Zielnenner muss ein Vielfaches des alten Nenners sein.

Zum Vergleichen, Addieren oder Subtrahieren brauchst du gleichnamige Brüche, also Brüche mit demselben Nenner. Besonders günstig ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Es heißt hier Hauptnenner. Für die Nenner 4 und 3 schreibst du Vielfache auf: 4, 8, 12, 16 … und 3, 6, 9, 12 … Die kleinste gemeinsame Zahl ist 12, also ist 12 der Hauptnenner. Dann erweiterst du jeden Bruch mit dem Faktor, der seinen Nenner zu 12 macht.

Vier Fehler passieren besonders oft. Wer nur den Zähler oder nur den Nenner multipliziert, verändert den Wert. Wer oben und unten dieselbe Zahl addiert, erweitert nicht. Wer mit 0 erweitert, bekommt den Nenner 0, und das ist nicht erlaubt. Und wer beim Zielnenner die Differenz nimmt statt des Faktors, erhält die falsche Erweiterungszahl. Das Kürzen ist übrigens die Gegenoperation: Dabei teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, und auch dann bleibt der Wert gleich.