Mathematik · Klasse 5 · aktualisiert
Binärsystem einfach erklärt: Umrechnen und Addieren
Das Binärsystem kommt mit den Ziffern 0 und 1 aus. Du lernst, Binärzahlen zu lesen, umzurechnen, zu addieren und was Bit und Byte bedeuten.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Binärsystem (Dualsystem) ist ein Stellenwertsystem zur Basis 2 mit den Ziffern 0 und 1. Von rechts haben die Stellen die Werte 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter. Den Dezimalwert erhältst du, indem du die Stellenwerte aller Einsen addierst: 1101_2 = 8 + 4 + 1 = 13.
Dein Handy, deine Spielkonsole und jeder Computer arbeiten nur mit zwei Zuständen: an oder aus, 1 oder 0. Trotzdem lässt sich damit jede Zahl darstellen. Der Trick ist das Binärsystem: Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts daneben. Hier lernst du, Binärzahlen zu lesen, zwischen Binär- und Dezimalsystem umzurechnen und Binärzahlen zu addieren.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Das Dezimalsystem hat zehn Ziffern und die Basis 10. Das Binärsystem, auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt, hat nur zwei Ziffern und die Basis 2. Beim Zählen brauchst du deshalb schon nach der 1 eine neue Stelle: 0_2, 1_2, 10_2, 11_2, 100_2, 101_2, 110_2, 111_2, 1000_2. Der kleine Index zeigt die Basis, so erkennst du, ob eine Ziffernfolge binär oder dezimal gemeint ist. Lies eine Binärzahl ziffernweise: 1000_2 heißt Eins-Null-Null-Null und hat den Dezimalwert 8. Die Stellenwerte beginnen rechts mit 2^0 = 1. Nach links folgen 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16 und 2^5 = 32. Steht an einer Stelle eine 1, zählt ihr Stellenwert mit, bei einer 0 nicht. Eine Null in der Mitte hält den Platz ihres Stellenwerts frei. Nur führende Nullen ändern den Wert nicht.
Definition
Binärsystem
Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 2. Es verwendet ausschließlich die Ziffern 0 und 1.
Beispiel: 1101_2 in eine Dezimalzahl umwandeln
- 1Stellenwerte von rechts: 1, 2, 4, 8
- 2Die Einsen stehen bei 8, 4 und 1.
- 31101_2 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 8 + 4 + 1 = 13
Merke: Im Binärsystem verdoppelt sich der Stellenwert mit jedem Schritt nach links.
Teste dich
Zerlege die Dezimalzahl in verschiedene Zweierpotenzen. Beginne mit der größten Zweierpotenz, die nicht größer als die Zahl ist, und mach mit dem Rest weiter. Jede verwendete Zweierpotenz bekommt eine 1, jede andere Stelle eine 0. Ein zweiter Weg ist die wiederholte Division durch 2: Du notierst bei jeder Division den Rest 0 oder 1. Sobald der Quotient 0 ist, hörst du auf und liest die Reste von unten nach oben.
Beispiel: 21 mit Zweierpotenzen umwandeln
- 1Größte passende Zweierpotenz: 16, es bleiben 21 − 16 = 5
- 2In 5 passt 4, es bleibt 5 − 4 = 1
- 3Zum Schluss passt die 1.
- 4Stellen 16, 8, 4, 2, 1 belegen: 1, 0, 1, 0, 1
- 521 = 16 + 4 + 1 = 10101_2
Beispiel: 13 mit Division durch 2 umwandeln
- 113 : 2 = 6 Rest 1
- 26 : 2 = 3 Rest 0
- 33 : 2 = 1 Rest 1
- 41 : 2 = 0 Rest 1
- 5Reste von unten nach oben: 13 = 1101_2
Merke: Bei der Division durch 2 liest du die Reste von unten nach oben: Der erste Rest gehört an die Einerstelle ganz rechts.
Teste dich
Du addierst schriftlich von rechts nach links, genau wie im Dezimalsystem. Weil es nur die Ziffern 0 und 1 gibt, entsteht schon bei 1 + 1 ein Übertrag: 1 + 1 = 10_2. Du schreibst 0 und überträgst 1 zur nächsten Stelle. Kommen an einer Stelle zwei Einsen und ein Übertrag zusammen, ist 1 + 1 + 1 = 11_2: Du schreibst 1 und überträgst wieder 1.
| Rechnung | Du schreibst | Übertrag |
|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | 0 |
| 0 + 1 oder 1 + 0 | 1 | 0 |
| 1 + 1 | 0 | 1 |
| 1 + 1 + Übertrag 1 | 1 | 1 |
Beispiel: 1011_2 + 1010_2 berechnen
- 11er-Stelle: 1 + 0 = 1
- 22er-Stelle: 1 + 1 = 10_2, schreibe 0, Übertrag 1
- 34er-Stelle: 0 + 0 und der Übertrag ergeben 1
- 48er-Stelle: 1 + 1 = 10_2, schreibe 0 und setze die 1 davor
- 5Ergebnis: 1011_2 + 1010_2 = 10101_2
- 6Dezimalprobe: 11 + 10 = 21
Merke: Bei 1 + 1 ist die 0 das Ergebnis der aktuellen Stelle. Die 1 gehört als Übertrag zur nächsten Stelle.
Teste dich
Technische Geräte können zwei Zustände gut unterscheiden, zum Beispiel Strom an oder aus. Diese Zustände lassen sich als 1 und 0 codieren. Mit jedem zusätzlichen Bit verdoppelt sich die Zahl der möglichen Bitmuster. Mit n Bits sind daher 2^n verschiedene Muster möglich. Ein Byte besteht aus 8 Bits. Damit gibt es 2^8 = 256 verschiedene Bitmuster. Liest man sie als natürliche Zahlen ab 0, reichen ihre Werte von 00000000_2 = 0 bis 11111111_2 = 255.
Definition
Bit
Ein Bit ist eine binäre Informationseinheit. Es kann genau einen von zwei Zuständen annehmen: 0 oder 1.
| Anzahl Bits | Mögliche Bitmuster |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 8 (ein Byte) | 256 |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Binärsystem
Ziffern
nur 0 und 1
Stellenwerte
von rechts 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter
Binär zu Dezimal
die Stellenwerte der Einsen addieren
Dezimal zu Binär
passende Zweierpotenzen auswählen oder immer wieder durch 2 teilen
Addition
von rechts rechnen, bei 1 + 1 eine 0 schreiben und 1 übertragen
Bit und Byte
zwei Zustände je Bit, acht Bits je Byte, 2^8 = 256 Muster
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
45 ins Binärsystem umwandeln
- 1Größte passende Zweierpotenz: 32, es bleiben 45 − 32 = 13
- 2In 13 passt 8, es bleiben 13 − 8 = 5
- 3In 5 passt 4, es bleibt 5 − 4 = 1, und die 1 passt genau.
- 4Stellen 32, 16, 8, 4, 2, 1 belegen: 1, 0, 1, 1, 0, 1
- 545 = 101101_2
- 6Probe: 32 + 8 + 4 + 1 = 45
Fehler finden
26 mit Division durch 2 umwandeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 6Die Reste müssen von unten nach oben gelesen werden: 1, 1, 0, 1, 0. Also ist 26 = 11010_2. Probe: 16 + 8 + 2 = 26.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Von rechts beginnt die Nummerierung der Stellen mit dem Exponenten . Jeder Schritt nach links den Stellenwert. Die Binärzahl 10101_2 hat den Dezimalwert .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback