Mathematik · Klasse 5 · aktualisiert
Assoziativgesetz: Klammern geschickt setzen
Mit dem Assoziativgesetz darfst du bei Plus- und Malaufgaben die Klammern verschieben. Du lernst, damit geschickt im Kopf zu rechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) sagt: Bei einer reinen Addition oder einer reinen Multiplikation darfst du die Klammern anders setzen, das Ergebnis bleibt gleich. Es gilt a + (b + c) = (a + b) + c und a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c. Für Minus und Geteilt gilt es nicht.
Wie rechnest du (6 · 25) · 4 schnell im Kopf? Mit einem Trick: Du rechnest zuerst 25 · 4 = 100. Das Assoziativgesetz erlaubt dir, bei einer reinen Addition oder Multiplikation die Klammern anders zu setzen. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt gleich, und das Ergebnis ändert sich nicht.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Eine Klammer bestimmt, welchen Teil einer Rechnung du zuerst ausrechnest. Bei drei Zahlen kannst du entweder die ersten beiden oder die letzten beiden zusammenfassen. Bei einer reinen Plusaufgabe und bei einer reinen Malaufgabe ist das egal, das Ergebnis bleibt gleich. Für die Addition gilt a + (b + c) = (a + b) + c, für die Multiplikation a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c. Die Zahlen bleiben dabei an ihrem Platz, nur die Klammer wandert.
Definition
Assoziativgesetz
Eine Rechenoperation heißt assoziativ, wenn eine andere Klammerung das Ergebnis nicht verändert. Das Assoziativgesetz heißt deshalb auch Verbindungsgesetz oder Verknüpfungsgesetz.
Merke: Assoziieren bedeutet umklammern: Die Zahlen behalten ihre Reihenfolge. Das Vertauschen von Zahlen gehört dagegen zum Kommutativgesetz.
Teste dich
Beim Addieren suchst du benachbarte Summanden, die zusammen einen vollen Zehner ergeben. Beim Multiplizieren suchst du benachbarte Faktoren, deren Produkt 10, 100 oder 1000 ist. Um genau diese beiden Zahlen setzt du die Klammer. Das klappt auch mit größeren Zahlen: (404 + 67) + 11 = 404 + (67 + 11) = 404 + 78 = 482.
Beispiel: 12 + (8 + 5) geschickt rechnen
- 1Reihenfolge der Zahlen: 12, 8, 5
- 2Klammer verschieben: 12 + (8 + 5) = (12 + 8) + 5
- 3(12 + 8) + 5 = 20 + 5 = 25
- 4Probe: 12 + (8 + 5) = 12 + 13 = 25
Beispiel: (6 · 25) · 4 geschickt rechnen
- 1Klammer verschieben: (6 · 25) · 4 = 6 · (25 · 4)
- 26 · (25 · 4) = 6 · 100 = 600
- 3Probe: (6 · 25) · 4 = 150 · 4 = 600
Merke: Bei einer reinen Summe suchst du günstige Summen, bei einem reinen Produkt günstige Produkte. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt dabei gleich.
Teste dich
Subtraktion und Division sind nicht assoziativ. Eine andere Klammerung kann dort zu einem anderen Ergebnis führen, und ein einziges Gegenbeispiel reicht als Beweis. Auch wenn in einem Term verschiedene Rechenarten stehen, darfst du die Klammer nicht einfach verschieben. In 5 · (3 + 2) stehen Mal und Plus zusammen: 5 · (3 + 2) = 5 · 5 = 25, aber (5 · 3) + 2 = 15 + 2 = 17.
Beispiel: Minus und Geteilt mit anderer Klammer
- 1(14 − 9) − 2 = 5 − 2 = 3
- 214 − (9 − 2) = 14 − 7 = 7
- 33 und 7 sind verschieden: Die Subtraktion ist nicht assoziativ.
- 418 : (6 : 3) = 18 : 2 = 9
- 5(18 : 6) : 3 = 3 : 3 = 1
- 69 und 1 sind verschieden: Auch die Division ist nicht assoziativ.
Merke: Umklammern darfst du nur bei einer reinen Addition oder einer reinen Multiplikation. Bei Minus, Geteilt oder gemischten Rechenarten bleibt die Klammer, wo sie ist.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Assoziativgesetz
Addition
Klammern verschieben, Ergebnis bleibt gleich
Multiplikation
Klammern verschieben, Ergebnis bleibt gleich
Kopfrechnen
günstige Zwischenergebnisse wie 20 oder 100 bilden
Reihenfolge
Zahlen nicht vertauschen
Grenzen
nicht für Subtraktion und Division
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
(47 + 25) + 75 geschickt berechnen
- 1Reihenfolge der Zahlen: 47, 25, 75
- 225 + 75 = 100 ist eine günstige Summe.
- 3Klammer verschieben: (47 + 25) + 75 = 47 + (25 + 75)
- 447 + (25 + 75) = 47 + 100 = 147
Fehler finden
(50 − 20) − 10 geschickt rechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Klammer wurde bei einer Subtraktion verschoben, und Minus ist nicht assoziativ. Richtig: (50 − 20) − 10 = 30 − 10 = 20.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Assoziativgesetz änderst du nur die der Zahlen. Es gilt für die Addition und die . Bei (7 · 25) · 4 rechnest du geschickt zuerst .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback