Additionsverfahren: LGS Schritt für Schritt lösen

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei linearen Gleichungen mit denselben zwei Variablen. Gesucht ist ein Wertepaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die Zahl vor einer Variablen heißt Koeffizient, in 3y ist das die 3. Beim Additionsverfahren machst du die Koeffizienten einer Variablen gleich groß, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen. Dann heben sich zum Beispiel +3y und -3y beim Addieren auf. Warum darfst du das? Sind in jeder Gleichung beide Seiten gleich, dann sind auch die Summen der linken und der rechten Seiten gleich. Du addierst dabei immer ganze Gleichungen.

Stehen die Gegenterme schon da, addierst du die beiden Gleichungen seitenweise. Übrig bleibt eine Gleichung mit einer Variablen, die du löst. Diesen Wert setzt du in eine der Ausgangsgleichungen ein. Das heißt Rückeinsetzen, so bekommst du die zweite Variable. Zum Schluss machst du die Probe: Beide Werte müssen beide Ausgangsgleichungen erfüllen. Die Lösung schreibst du als Wertepaar, zum Beispiel (3 \mid 2).

Oft passen die Koeffizienten noch nicht. Dann multiplizierst du eine oder beide Gleichungen vollständig: Jeder Term auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens wird mit demselben Faktor multipliziert. Das kleinste gemeinsame Vielfache hilft dir bei der Wahl der Faktoren. Bei den Koeffizienten 3 und 2 ist 6 ein gemeinsames Vielfaches. Achte darauf, dass die Vorzeichen am Ende entgegengesetzt sind. Typische Fehler sind: nur einen Term multiplizieren, die rechte Seite vergessen, ein Minuszeichen verlieren oder die Probe weglassen.

Nach dem Addieren muss nicht immer eine Gleichung wie 6x = 18 entstehen. Die letzte Aussage zeigt dir, wie viele Lösungen das System hat. Jede der beiden linearen Gleichungen beschreibt eine Gerade, und die Lösung ist ihr gemeinsamer Punkt. Fallen beide Variablen weg, bleibt links 0x + 0y, also immer 0. Dann entscheidet die rechte Seite: Steht dort 0, ist die Aussage immer wahr. Steht dort eine andere Zahl, ist sie nie wahr.