Wertetabelle

Grundidee

Eine Wertetabelle ist in der Mathematikdidaktik eine Tabelle mit zwei Spalten oder zwei Zeilen. In ihr stehen Argumente, zum Beispiel x-Werte, und die zugehörigen Funktionswerte einer Funktion, zum Beispiel f(x). Mit einer solchen Tabelle kann man einzelne Punkte bestimmen und daraus den Graphen einer Funktion zeichnen.

Wichtig ist: Eine Wertetabelle zeigt nur diskrete Werte, also einzelne ausgewählte Wertepaare. Aus ihr geht nicht direkt hervor, wie sich die Funktion zwischen zwei Wertepaaren verhält. Deshalb können Wertetabellen Hinweise geben, ersetzen aber keine formale Untersuchung einer Funktion.

Verwendung in Mathematik und Naturwissenschaften

Wenn eine Funktion nur auf einer endlichen Menge definiert ist, kann sie durch eine Wertetabelle beschrieben werden. In der klassischen Aussagenlogik und auch in einigen anderen Logiken verwendet man Wertetabellen, um die semantischen Eigenschaften logischer Verknüpfungszeichen zu charakterisieren. Bei logischen Funktionen nennt man eine solche Tabelle auch Wahrheitstabelle.

In empirischen Wissenschaften wie der Physik haben Wertetabellen eine weitere Rolle: Einzelne Messergebnisse werden in einer Tabelle gesammelt. Umgekehrt können solche Messwerte die Grundlage sein, um eine Vermutung über einen mathematischen Zusammenhang aufzustellen. Häufig werden die Werte grafisch dargestellt; wenn die Punkte zum Beispiel offensichtlich auf einer Geraden oder auf einer einfachen Kurve liegen, kann daraus eine passende Funktion vermutet werden. Dabei spielen auch statistische Verfahren wie die Regressionsanalyse eine Rolle.

Einfaches Beispiel mit y = x²

Für den Graphen von y = f(x) = x² kann eine Wertetabelle für {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 3} erstellt werden. Dabei werden die x-Werte 0, 1, 2 und 3 eingesetzt. Die zugehörigen Funktionswerte sind f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4 und f(3) = 9.

Die Tabelle liefert also die Punkte (0, 0), (1, 1), (2, 4) und (3, 9). Diese Punkte können in ein Koordinatensystem eingetragen werden, um den Graphen zu zeichnen. Soll der Kurvenverlauf genauer werden, sind weitere Zwischenwerte hilfreich.

Hinweise und Grenzen am Beispiel g(x)

Für y = g(x) = (x² − 2)² − 1 wird im Artikel eine Wertetabelle für einige x-Werte von −3 bis +3 angegeben. Zu den x-Werten −3, −2, −3/2, −1, −1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2 und 3 gehören die Funktionswerte 48, 3, −15/16, 0, 33/16, 3, 33/16, 0, −15/16, 3 und 48.

Diese Wertetabelle legt richtig nahe, dass der Graph von g symmetrisch zur y-Achse ist. Trotzdem muss diese Vermutung formal überprüft werden. Die Tabelle kann auch falsche Vermutungen nahelegen: Sie lässt vermuten, dass bei x = 0 ein lokales Maximum und bei x = 1,5 sowie x = −1,5 je ein lokales Maximum liegt. Tatsächlich trifft nur die erste dieser Aussagen zu.

Unter der Voraussetzung der Stetigkeit darf man aus der Tabelle schließen, dass zwischen −2 und −1 sowie zwischen 1 und 2 jeweils mindestens ein lokales Minimum liegt. Die lokalen Minima liegen tatsächlich bei x = ±√2. Außerdem erkennt man Nullstellen bei x = −1 und x = +1. Wiederum bei vorausgesetzter Stetigkeit muss zwischen −2 und −1,5 sowie zwischen 1,5 und 2 jeweils mindestens eine weitere Nullstelle liegen. Diese liegen tatsächlich bei x = ±√3. Eine Wertetabelle kann daher ein Ausgangspunkt für numerische Nullstellensuche sein, etwa mit dem Sekantenverfahren. Allgemein kann man aber nicht sicher sein, mit einer einfachen Wertetabelle jede Nullstelle zu finden. In diesem Beispiel sind dennoch alle Nullstellen gefunden, weil ein Polynom vierten Grades nur vier Nullstellen haben kann.

Wahrheitstabelle für XOR

Bei logischen Funktionen spricht man von einer Wahrheitstabelle. Die XOR-Funktion wird durch eine Wertetabelle mit den Wahrheitswerten von A und B beschrieben. XOR ist genau dann wahr, wenn von A und B genau eine Aussage wahr ist.

Die Tabelle im Artikel gibt an: Für (A, B) = (FALSCH, FALSCH) ist A XOR B FALSCH. Für (FALSCH, WAHR) ist A XOR B WAHR. Für (WAHR, FALSCH) ist A XOR B WAHR. Für (WAHR, WAHR) ist A XOR B FALSCH. Die dritte Zeile bedeutet zum Beispiel: Wenn A wahr ist und B falsch, dann ist „A XOR B“ wahr.