Wallissche Ungleichungen

Kernidee und Grundabschätzung

Wallissche Ungleichungen sind Abschätzungen aus der Analysis, die mit dem wallisschen Produkt zusammenhängen. Sie zeigen insbesondere einen Zusammenhang zwischen der Doppelfakultät und der Kreiszahl \pi.

Für jede natürliche Zahl n>0 gilt: \frac{1}{\sqrt{\pi\cdot(n+\frac12)}}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{\pi\cdot n}}. Dabei ist (2n-1)!! die Doppelfakultät der ungeraden Zahlen und (2n)!! die Doppelfakultät der geraden Zahlen: \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{2n(2n-2)\cdots4\cdot2}.

Weitere ableitbare Abschätzungen

Aus den grundlegenden wallisschen Ungleichungen folgen für jede natürliche Zahl n>0 die Abschätzungen \sqrt{\frac{\frac54}{4n+1}}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\sqrt{\frac{\frac34}{2n+1}}. Wenn man von einigen kleinen Indizes absieht, sind diese Ungleichungen schwächer als die vorherigen. Robert Alexander Rankin zeigt in seiner Monographie „An Introduction to Mathematical Analysis“, dass sie auch unmittelbar durch vollständige Induktion bewiesen werden können.

Verschärfte Schranken

Die obere Schranke wurde 1956 von Donat K. Kazarinoff verschärft. Für jede natürliche Zahl n>0 gilt: \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{\pi\cdot(n+\frac14)}}.

Chen Chao-Ping und Qi Feng bewiesen 2005 eine Verschärfung der unteren Schranke: \frac{1}{\sqrt{\pi\cdot(n+\frac4\pi-1)}}\leq\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.

Bezug zum wallisschen Produkt

Für jede natürliche Zahl n>0 gilt: \left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\frac{1}{2n+1}<\frac\pi2<\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\frac{1}{2n}. Damit wird \pi/2 von zwei Ausdrücken eingegrenzt. Beide nähern sich für n\to\infty demselben Grenzwert an: \frac\pi2=\lim_{n\to\infty}\left(\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\frac{1}{2n}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\frac{1}{2n+1}\right). Dies erklärt, weshalb die Quotienten aus geraden und ungeraden Doppelfakultäten sowie \pi im wallisschen Produkt eng miteinander verbunden sind.