Vielfachenmenge

Definition und Beispiel

Die Vielfachenmenge ist in der Mathematik die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl. Sie enthält genau die natürlichen Zahlen, die durch die Ausgangszahl ohne Rest teilbar sind.

Formal wird sie so beschrieben: Für ein a ∈ ℕ₀ gilt V_a = { d ∈ ℕ₀ | a | d }. Das bedeutet: V_a besteht aus allen Zahlen d aus den natürlichen Zahlen einschließlich 0, für die a ein Teiler von d ist.

Beispiel: Die Vielfachenmenge von 7 besteht aus allen natürlichen Zahlen, die durch 7 ohne Rest teilbar sind: V_7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, ...}.

Zusammenhang mit dem kgV

Für zwei natürliche Zahlen m und n gilt mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kurz kgV:

V_m ∩ V_n = V_kgV(m,n).

Das bedeutet: Die gemeinsamen Elemente der Vielfachenmengen von m und n sind genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von m und n.

Mächtigkeit

Die Anzahl der Elemente einer Vielfachenmenge heißt ihre Mächtigkeit. Die Vielfachenmenge einer natürlichen Zahl ist abzählbar unendlich. Das heißt: Es gibt unendlich viele Vielfache, aber sie lassen sich der Reihe nach aufzählen.

Verwandte Begriffe

Wichtige verwandte Begriffe sind Teilbarkeit, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Teilermenge. Teilbarkeit beschreibt, wann eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das kleinste positive gemeinsame Vielfache zweier Zahlen. Eine Teilermenge enthält dagegen die Teiler einer Zahl, nicht ihre Vielfachen.