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Tanc-Funktion
Die tanc-Funktion oder auch Kardinaltangens (Tangens cardinalis) ist eine mathematische Funktion, die durch. Die tanc-Funktion im Bereich von −11 bis 11.
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Definition und Einordnung
Die tanc-Funktion, auch Kardinaltangens oder Tangens cardinalis genannt, ist definiert durch
\operatorname{tanc}(x):=\frac{\tan(x)}{x},
wobei \tan(x) der gewöhnliche Tangens ist. Bei x=0 besitzt der Quotient zunächst eine hebbare Definitionslücke. Eine solche Lücke kann durch einen passenden Funktionswert geschlossen werden. Mithilfe des Grenzwerts, etwa nach der Regel von de L’Hospital, setzt man die Funktion dort stetig fort:
\operatorname{tanc}(0)=1.
Die tanc-Funktion ähnelt strukturell der gebräuchlicheren sinc-Funktion, zählt jedoch nicht zu den Kardinalfunktionen.
Nullstellen und Definitionslücken
Die Nullstellen liegen bei allen von null verschiedenen ganzzahligen Vielfachen von \pi:
\operatorname{tanc}(x)=\frac{\tan(x)}{x}=0 für x\in\{n\pi\mid n\in\mathbb Z\setminus\{0\}\}.
Dabei bezeichnet \mathbb Z die Menge der ganzen Zahlen. Der Punkt x=0 ist wegen der stetigen Fortsetzung keine Nullstelle, denn dort gilt \operatorname{tanc}(0)=1.
Weitere Definitionslücken entstehen an den Polstellen des Tangens, also bei
x=(n+\tfrac12)\pi mit n\in\mathbb Z.
In ihrer Nähe divergiert \tan(x), sodass die tanc-Funktion asymptotisches Grenzverhalten zeigt. Im Abschnitt zum Grenzverhalten nennt der Artikel abweichend Koordinaten der Form x_n=\tfrac12+\pi n; in der Abgrenzung werden dagegen die üblichen Tangens-Polstellen (n+\tfrac12)\pi angegeben.
Ableitung
Für Stellen, an denen der Ausdruck definiert ist, lautet die erste Ableitung:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\operatorname{tanc}(x)=\frac{\sec^2(x)}{x}-\frac{\tan(x)}{x^2}.
Dabei ist \sec(x) der Sekans mit \sec(x)=1/\cos(x). Die Formel folgt aus der Ableitung des Quotienten \tan(x)/x.
Integral des Kehrwerts
Für das Integral des Kehrwerts gibt der Artikel an:
\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\operatorname{tanc}(x)}\,\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\ln(2).
Da 1/\operatorname{tanc}(x)=x/\tan(x), wird damit der Kehrwert der Funktion über das Intervall von 0 bis \pi/2 integriert. Der angeführte Beweis formt das Integral zunächst zu
\int_0^1\frac{\arcsin(x)}{x}\,\mathrm dx
um, stellt es anschließend als Doppelintegral dar und vertauscht die Integrationsreihenfolge. Nach der Auswertung des inneren Integrals entsteht
\int_0^1\frac{\pi}{2}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2})}\,\mathrm dy,
woraus sich schließlich \frac{\pi}{2}\ln(2) ergibt.
Abgrenzung zur sinc-Funktion
Obwohl tanc- und sinc-Funktion ähnlich aufgebaut sind, ist die tanc-Funktion keine Kardinalfunktion. Im Gegensatz zur sinc-Funktion besitzt sie bei (n+\tfrac12)\pi Definitionslücken. Deshalb ist beispielsweise in der Physik die Verwendung der sinc-Funktion gebräuchlicher.