Sexy Primzahl

Grundidee

Sexy Primzahlen sind Primzahlen, deren Differenz genau 6 beträgt. Ein einfaches Beispiel ist das Paar 5 und 11, weil 11 um 6 größer ist als 5. Allgemein hat ein sexy Primzahlpaar die Form (p, p+6), wobei beide Zahlen Primzahlen sind.

Wenn zu einem solchen Paar auch p+2 oder p+4 prim ist, dann gehören die beiden sexy Primzahlen zugleich zu einem Primzahldrilling. Der Begriff „sexy“ bezieht sich auf sex, das lateinische Wort für sechs.

Paare und Drillinge

Sexy Primzahlzwillinge haben die Form (p, p+6). Die im Artikel aufgeführte Liste nennt solche Paare bis 2.000, zum Beispiel (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47) und (47, 53). Das größte derzeit bekannte sexy Primzahlpaar hatte Stand Juni 2025 je 86138 Dezimalstellen. Es wird angegeben durch p = (84741735735 · (2^190738 − 1) + 4) · 2^95369 − 1 und p+6 = (84741735735 · (2^190738 − 1) + 4) · 2^95369 + 5.

Sexy Primzahldrillinge sind Tripel der Form (p, p+6, p+12), wenn p+18 eine zusammengesetzte Zahl ist, also keine Primzahl. Beispiele unter 1000 sind (7, 13, 19), (17, 23, 29), (31, 37, 43), (47, 53, 59), (67, 73, 79), (97, 103, 109) und (101, 107, 113). Am 26. Juni 2024 entdeckte Serge Batalov den momentan größten sexy Primzahldrilling mit 16330 Stellen: p = 17484430616589 · 2^54201 − 7, p+6 = 17484430616589 · 2^54201 − 1 und p+12 = 17484430616589 · 2^54201 + 5.

Vierlinge und Fünflinge

Sexy Primzahlvierlinge sind Quadrupel der Form (p, p+6, p+12, p+18). Die erste Primzahl p muss in ihrer Dezimaldarstellung mit der Ziffer 1 enden; eine Ausnahme ist der erste Vierling mit p = 5. Unter 1000 werden genannt: (5, 11, 17, 23), (11, 17, 23, 29), (41, 47, 53, 59), (61, 67, 73, 79), (251, 257, 263, 269), (601, 607, 613, 619) und (641, 647, 653, 659).

Im November 2005 entdeckte Jens Kruse Andersen einen damals größten sexy Primzahlvierling mit 1002 Stellen. Für ihn gilt p = 411784973 · 2347# + 3301. Dabei bedeutet 2347# eine Primfakultät, also das Produkt aller Primzahlen ≤ 2347. Am 23. Juni 2024 entdeckte Serge Batalov den momentan größten sexy Primzahlvierling mit 5002 Stellen; für dessen erste Primzahl gilt p = (35734184537 · 11677#) / 3 − 9.

Sexy Primzahlfünflinge sind Quintupel der Form (p, p+6, p+12, p+18, p+24). In jeder arithmetischen Folge von fünf Zahlen mit Differenz 6 ist jedoch eine Zahl durch 5 teilbar. Deshalb ist der einzige sexy Primzahlfünfling (5, 11, 17, 23, 29). Eine längere sexy Primzahlfolge kann es daher nicht geben.

Einordnung der Primzahltupel

Die Zusammenfassung ordnet sexy Primzahlen in andere Primzahltupel ein. Ein Tupel ist hier eine geordnete Gruppe von Primzahlen mit bestimmten Abständen.

Wichtige Formen sind: (p, p+2) heißt Primzahlzwilling, (p, p+4) heißt Primzahlencousin und (p, p+6) heißt sexy Primzahlzwilling. Primzahldrillinge haben die Formen (p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6), während sexy Primzahldrillinge die Form (p, p+6, p+12) haben. Ein Primzahlvierling hat die Form (p, p+2, p+6, p+8), ein sexy Primzahlvierling die Form (p, p+6, p+12, p+18). Primzahlfünflinge werden als (p, p+2, p+6, p+8, p+12) oder (p, p+4, p+6, p+10, p+12) beschrieben; der sexy Primzahlfünfling hat die Form (p, p+6, p+12, p+18, p+24).