Primzahlencousin

Definition und Beispiele

Primzahlencousins sind zwei Primzahlen, deren Differenz genau 4 beträgt. Sie haben die Form (p, p+4), wobei sowohl p als auch p+4 Primzahlen sein müssen. Ein typisches Beispiel ist (13, 17): 17 ist um 4 größer als 13, und beide Zahlen sind prim.

Weitere kleine Primzahlencousin-Paare sind (3, 7), (7, 11), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71) und (79, 83). Der Artikel führt die Paare bis 4.000 auf; die zugehörigen Zahlenfolgen sind in der OEIS unter A023200 und A046132 verzeichnet.

Besondere Eigenschaften

Die Zahl 7 ist die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört: (3, 7) und (7, 11).

Von den drei Zahlen p, p+4 und p+8 ist immer eine durch 3 teilbar. Deshalb kann ein Tripel dieser Form im Allgemeinen nicht vollständig aus Primzahlen bestehen. Die einzige Ausnahme ist p = 3: Das Tripel (3, 7, 11) besteht aus drei Primzahlen.

Größtes genanntes Paar

Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov die im Artikel als momentan größte bezeichneten Primzahlencousins mit jeweils 51.934 Stellen. Das Paar (p, p+4) wird beschrieben durch:

p = 29055814795 · (2^172486 − 2^86243) + 2^86245 − 3

p+4 = 29055814795 · (2^172486 − 2^86243) + 2^86245 + 1

Für p+4 ist sicher nachgewiesen, dass die Zahl prim ist. Bei p ist dies dagegen nicht endgültig bewiesen, weil kein bekannter Primzahltest ihre Primalität einfach bestimmen kann. p ist eine PRP-Zahl („probable prime“, also wahrscheinliche Primzahl): Sie erfüllt Bedingungen, die alle Primzahlen erfüllen, die jedoch bei den meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllt sind. Das Paar enthält daher eine sicher bestätigte Primzahl und eine sehr wahrscheinlich prime Zahl.

Dichte und Brunsche Konstante

Aus der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung folgt, dass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte wie Primzahlzwillinge haben. Die asymptotische Dichte beschreibt hier das langfristige Häufigkeitsverhalten solcher Primzahlpaare bei immer größeren Zahlen.

Analog zur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge wird für Primzahlencousins die Brunsche Konstante B₄ durch eine konvergente Summe definiert. Dabei werden für jedes Paar die Kehrwerte beider Primzahlen addiert:

B₄ = (1/7 + 1/11) + (1/13 + 1/17) + (1/19 + 1/23) + ···

Das erste Paar (3, 7) wird in dieser Summe ausgelassen. Unter Einbeziehung aller Primzahlencousins bis 2^42 zeigte Marek Wolf 1996:

B₄ ≈ 1,1970449

Der Wert ist in der OEIS als Folge A194098 verzeichnet. Diese Konstante ist nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge zu verwechseln. Diese wird ebenfalls B₄ genannt, hat aber einen anderen Wert.

Abgrenzung zu anderen Primzahltupeln

Primzahltupel sind Gruppen von Primzahlen mit festgelegten Abständen. Die gebräuchlichen Bezeichnungen im Artikel lauten:

• (p, p+2): Primzahlzwilling • (p, p+4): Primzahlencousin • (p, p+6): Sexy Primzahlzwilling • (p, p+2, p+6) oder (p, p+4, p+6): Primzahldrilling • (p, p+6, p+12): Sexy Primzahldrilling • (p, p+2, p+6, p+8): Primzahlvierling • (p, p+6, p+12, p+18): Sexy Primzahlvierling • (p, p+2, p+6, p+8, p+12) oder (p, p+4, p+6, p+10, p+12): Primzahlfünfling • (p, p+6, p+12, p+18, p+24): Sexy Primzahlfünfling

Primzahlencousins unterscheiden sich von diesen Gruppen somit durch den kennzeichnenden Abstand 4 zwischen genau zwei Primzahlen.