Folgepfeil

Bedeutung und Grundregel

Der Folgepfeil ist ein doppelter Pfeil nach rechts, links oder in beide Richtungen. In der mathematischen Logik bezeichnet er einen logischen Schluss, also eine Folgerung zwischen Aussagen. Der nach rechts gerichtete Pfeil ⇒ wird als „daraus folgt“ gelesen.

Bei einer gültigen Folgerung darf niemals aus einer richtigen Aussage eine falsche Aussage folgen. Zulässig sind dagegen die Fälle „richtig führt zu richtig“, „falsch führt zu falsch“ und „falsch führt zu richtig“. Der Folgepfeil drückt somit aus, dass die Aussage hinter dem Pfeil gelten muss, sobald die Aussage vor dem Pfeil gilt.

Richtung, Transitivität und Äquivalenz

Eine typische Folgerung lautet:

x ist durch 4 teilbar ⇒ x ist durch 2 teilbar ⇒ x ist gerade

Dies ist ein transitiver Schluss: Wenn aus der ersten Aussage die zweite und aus der zweiten die dritte folgt, gilt auch unmittelbar:

x ist durch 4 teilbar ⇒ x ist gerade

Wird eine Folgerung in umgekehrter Leserichtung als „folgt aus“ geschrieben, verwendet man den nach links gerichteten Folgepfeil ⇐.

Der beidseitige Pfeil ⇔ bezeichnet eine wechselseitige Folgerung oder Äquivalenz. Man liest ihn als „folgt wechselseitig“ oder „folgt äquivalent“. Äquivalente Aussagen beschreiben denselben Sachverhalt in unterschiedlicher Form und können gegeneinander ausgetauscht werden. Das Beispiel

4 mal x ist 8 ⇔ 8 durch 4 ist x

stellt eine solche wechselseitige Beziehung dar.

Verneinte Folgerungen

Folgt eine Aussage nicht aus einer anderen, verwendet man den durchgestrichenen Pfeil ⇏ für „daraus folgt nicht“. Das Zeichen ⇎ bedeutet „daraus folgt nicht äquivalent“. Es sagt nur aus, dass keine wechselseitige Folgerung besteht; eine Folgerung in einer der beiden Richtungen kann trotzdem richtig sein.

So gilt:

x ist durch 4 teilbar ⇎ x ist durch 2 teilbar

Aus der Teilbarkeit durch 4 folgt zwar die Teilbarkeit durch 2, aber aus der Teilbarkeit durch 2 folgt nicht die Teilbarkeit durch 4. Dagegen sind die Aussagen „x ist gerade“ und „x ist durch 2 teilbar“ äquivalent. Für verschiedene mathematische Teilgebiete und genauere Aussagen existieren zahlreiche weitere Abwandlungen der Pfeilsymbolik.

Darstellung in Text und Unicode

In einfacher Texteingabe kann der Folgepfeil auch durch => dargestellt werden. Einige Editoren wandeln diese Zeichenfolge automatisch in einen Pfeil um.

Die mathematischen Folgepfeile liegen im Unicodeblock „Pfeile“ mit dem Bereich 2190–21FF. Der Artikel nennt folgende Zeichen und Codepoints:

• ⇒: RIGHTWARDS DOUBLE ARROW, 0x21d2 beziehungsweise U+21D2 • ⇐: LEFTWARDS DOUBLE ARROW, 0x21d0 beziehungsweise U+21D0 • ⇔: LEFT RIGHT DOUBLE ARROW, 0x21d4 beziehungsweise U+21D4 • ⇏: RIGHTWARDS DOUBLE ARROW WITH STROKE, im Artikel mit 0x21d0 und U+21CF angegeben • ⇍: LEFTWARDS DOUBLE ARROW WITH STROKE, im Artikel mit 0x21d2 und U+21CD angegeben • ⇎: LEFT RIGHT DOUBLE ARROW WITH STROKE, im Artikel mit 0x21d4 und U+21CE angegeben

Daneben gibt es im selben Unicodeblock entsprechende Pfeile nach oben und unten, etwa für einen an Flussdiagramme angelehnten Satz. Verlängerte Formen befinden sich im Unicodeblock „Zusätzliche Pfeile-A“ mit dem Bereich 27F0–27FF.

Eingabe mit TeX

In TeX werden die drei grundlegenden Folgepfeile mit \Rightarrow, \Leftarrow und \Leftrightarrow gesetzt. Der Großbuchstabe unterscheidet diese doppelten Pfeile ausdrücklich von den einfachen Pfeilen. Die verneinten Varianten entstehen mit einem vorangestellten kleinen „n“: \nRightarrow, \nLeftarrow und \nLeftrightarrow.

Für besondere Richtungen und Darstellungsformen bietet TeX zahlreiche weitere Befehle. Dazu gehören beispielsweise \uparrow und \downarrow für einfache Pfeile nach oben und unten, \Uparrow und \Downarrow für doppelte Formen, \leftarrow und \rightarrow für einfache waagerechte Pfeile sowie \longleftarrow, \longrightarrow, \Longleftarrow, \Longrightarrow und \Longleftrightarrow für verlängerte Varianten. Weitere Befehle erzeugen unter anderem gebogene, kreisförmige, hakenförmige, diagonale, doppelte oder harpunenartige Pfeile.