Schergesetz

Grundidee und Bedeutung

Ein Schergesetz beschreibt in den Materialwissenschaften, wie sich ein Material unter dem Einfluss von Scherkräften verhält. Scherkräfte wirken so, dass Teile eines Körpers gegeneinander verschoben werden.

Solche Gesetze werden in technischen Bereichen wie Maschinenbau und Bauwesen verwendet, um die maximale Belastbarkeit einer Konstruktion abzuschätzen. In der Geotechnik helfen sie, die maximale Tragfähigkeit von Boden zu bestimmen und Setzungen vorherzusagen.

Coulombsches Schergesetz

Bei der Scherung treten Spannungen in Richtung der Scherung und senkrecht dazu auf. Eine senkrecht zur Scherung wirkende Spannung hemmt die Scherung: Je größer sie ist, desto größer kann die Scherspannung τ werden, bevor eine dauerhafte Verformung eintritt. Das ähnelt der Reibung, die einen Körper auf einer schiefen Ebene an der Bewegung hindern kann.

Zusätzlich können zwischen Körnern oder Molekülen Haltekräfte wirken. Die dadurch bewirkte Spannung heißt Kohäsion. Die Spannung τ_scher, oberhalb der eine dauerhafte Verformung eintritt, heißt Scherfestigkeit.

Für Böden, Felsen, andere natürliche Stoffe wie Schütt- und Lagerstoffe mit fester Konsistenz sowie für Metalle kann die Scherfestigkeit nach Coulomb berechnet werden:

τ_scher = σ · tan φ + c

Dabei ist σ die Normalspannung, also die senkrecht zur Scherung wirkende Spannung. Sie ist proportional zum Druck an der betrachteten Stelle im Körper. Die materialabhängigen Scherparameter sind die Kohäsion c und der innere Reibungswinkel φ.

Bruchkriterium nach Mohr-Coulomb

Das Mohr-Coulombsche Bruchkriterium beschreibt, wann ein Festkörper wie Boden oder Fels bricht. Ein Bruch tritt ein, wenn die Schubspannungen aus der äußeren Belastung größer werden als die Scherfestigkeit, die durch die Coulombsche Gleichung beschrieben wird. Diese Grenze wird als Bruchgerade oder Coulombsche Schergerade dargestellt.

Im Mohrschen Diagramm gilt: Der Mohrsche Spannungskreis jedes Bodenteilchens muss unter der Bruchgeraden liegen, damit kein Bruch eintritt. Das bedeutet τ < τ_bruch. Berührt der Spannungskreis die Bruchgerade, ist der Grenzzustand gerade erreicht.

Spannungskreise oberhalb der Schergeraden können nicht bestehen, weil der Boden ausweichen würde. Stattdessen schert eine Bodenprobe, zum Beispiel in einem Triaxialgerät, entlang einer Bruchfläche ab. Dann gilt τ > τ_bruch.

Druckfestigkeit aus dem Mohrschen Kreis

Aus dem Mohrschen Spannungskreis lässt sich auch die Druckfestigkeit eines Materials als Funktion der Scherparameter c und φ ableiten. Dazu wird der Mohrsche Kreis für den Bruchzustand des Materials gezeichnet.

Nach dem Mohr-Coulombschen Bruchkriterium beschreiben die Tangente an den Kreis, also die Bruchgerade, und ihr Schnittpunkt mit der vertikalen Koordinatenachse den Bruchzustand. Die Bruchgerade steht unter dem Winkel φ zur Horizontalen, ihr Abstand vom Nullpunkt auf der vertikalen Achse ist c. Die größte aufnehmbare Druckspannung σ_d ist der rechts liegende Schnittpunkt des Kreises mit der horizontalen Koordinatenachse.

Für die zweiaxiale Druckfestigkeit gilt:

σ_d = ((1 + sin φ) / (1 - sin φ)) · σ_3 + c · ((2 · cos φ) / (1 - sin φ))

Für den Sonderfall σ_3 = 0, also die einaxiale Druckfestigkeit, gilt:

σ_d = c · ((2 · cos φ) / (1 - sin φ))

Böden mit Porenwasser

Bei körnigen Medien wie Boden ist Porenwasser eine Besonderheit. Wird ein trockener Boden belastet, werden vor allem die Poren zusammengedrückt. Die Körner rücken näher zusammen und übernehmen den Druck.

Sind die Poren mit Wasser gefüllt, nimmt das inkompressible Wasser die äußere Belastung zunächst als Porenwasserdruck auf. Weil seitlich der Last ein geringerer Porendruck herrscht, fließt Wasser dorthin ab. Dadurch können sich die Poren verkleinern, und die Belastung wird auf die Körner übertragen. Dieser Vorgang heißt Konsolidation des Bodens. Der durch die Belastung entstehende Porenwasserdruck heißt Porenwasserüberdruck und wird bei der Konsolidierung abgebaut.

Bei einem wassergesättigten Boden werden Gewichtskräfte von Korn zu Korn übertragen. Diese Korn-zu-Korn-Übertragung folgt dem Stoffgesetz von Coulomb. Wird ein wassergesättigter Boden zusätzlich belastet, entsteht zunächst Porenwasserüberdruck. Das Korngerüst spürt die Zusatzbelastung anfangs nicht, weil das Wasser den Druck aufnimmt. Erst mit der Zeit, wenn Porenwasser abrinnt, steigen die Korn-zu-Korn-Spannungen, bis die Zusatzspannung vollständig von ihnen aufgenommen wird.

Das Coulombsche Schergesetz gilt nur für Korn-zu-Korn-Spannungen. Nach dem Gesetz von Terzaghi muss deshalb zur Berechnung der Korn-zu-Korn-Spannung σ′ der Porenwasserüberdruck u von der Gesamtspannung σ abgezogen werden:

σ′ = σ - u

Damit ergibt sich das erweiterte Stoffgesetz von Coulomb:

τ = c + σ′ · tan φ

beziehungsweise:

τ = c + (σ - u) · tan φ