Schalenmodell (Kernphysik)

Grundidee und Aufbau

Das Schalenmodell beschreibt den Aufbau von Atomkernen mit den Regeln der Quantenmechanik. Es betrachtet einzelne Nukleonen, also Protonen und Neutronen, die sich in einem von den übrigen Nukleonen erzeugten Potentialfeld bewegen. Besonders wichtig sind die Quantisierung des Drehimpulses und das Pauli-Prinzip. Damit erklärt das Modell unter anderem die magischen Zahlen, besonders stabile Kernkonfigurationen sowie häufig auch Kernspin und Parität.

Im Unterschied zum Tröpfchenmodell, das den Kern ähnlich einem Wassertropfen im Wesentlichen klassisch beschreibt, behandelt das Schalenmodell die Bewegung der Teilchen in diskreten quantenmechanischen Zuständen. Dabei bestehen wichtige Unterschiede zum Schalenmodell der Elektronenhülle: Der Kern enthält zwei Teilchenarten, es gibt kein gemeinsames Kraftzentrum, und zwischen den Nukleonen wirken deutlich stärkere Kräfte. Das Potential für ein einzelnes Nukleon wird durch alle anderen Nukleonen erzeugt.

Für die Beschreibung eignet sich ein Woods-Saxon-Potential. Da dieses nur numerisch behandelt werden kann, verwendet man für analytische Rechnungen ein ähnlich verlaufendes, modifiziertes Potential, beispielsweise das Potential eines harmonischen Oszillators. Die Schrödingergleichung liefert diskrete Energieniveaus. Je nach ihren Quantenzahlen können diese unterschiedlich viele Teilchen aufnehmen; in Anlehnung an die Atomhülle heißen die Gruppen von Zuständen Schalen.

Proton und Neutron besitzen wie das Elektron die Spinquantenzahl 1/2. Die Schalenanordnung im Kern unterscheidet sich jedoch von derjenigen im Coulomb-Potential eines Atoms. Bezeichnet N die Zahl der Knoten der radialen Wellenfunktion, also die radiale Quantenzahl, und ℓ die Bahndrehimpulsquantenzahl, dann haben im atomaren Coulomb-Potential Zustände mit gleichem n = N + ℓ + 1 näherungsweise gleiche Energien. Deshalb werden atomare Zustände als Kombinationen nℓ bezeichnet. Im Kernpotential haben dagegen Zustände mit gleichem 2N + ℓ näherungsweise gleiche Energien; die Schale wird dort mit n = N + 1 beschrieben. Für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, … stehen wie in der Atomphysik die Buchstaben s, p, d, f, g, … Eine Schale mit N = 0 und ℓ = 1 heißt daher in der Atomphysik 2p, in der Kernphysik aber 1p.

Außer bei s-Zuständen mit ℓ = 0 spaltet die Spin-Bahn-Kopplung jedes Niveau in zwei Unterniveaus auf. Für den Gesamtdrehimpuls gelten j = ℓ + 1/2 und j = ℓ − 1/2. Diese Kopplung ist im Atomkern nicht nur eine kleine Korrektur, sondern für die Anordnung der Niveaus von großer Bedeutung. Protonen- und Neutronenniveaus sind wegen der elektrischen Abstoßung der Protonen nicht genau gleich: Die Protonenniveaus liegen etwas höher. Bei den meisten Nukliden bis hinauf zu etwa 80 Protonen sind ihre Abstände aber annähernd gleich; die beiden Niveauschemata sind im Wesentlichen gegeneinander verschoben. Spiegelkerne bestätigen diese Verschiebung, die im Tröpfchenmodell dem Coulomb-Anteil entspricht.

Magische Zahlen und Stabilität

Wie viele gleiche Teilchen eine Schale aufnehmen kann, wird durch das Pauli-Prinzip begrenzt. Die 1s-Schale ist beispielsweise mit zwei Nukleonen vollständig besetzt. Ein weiteres Nukleon muss deshalb die energetisch höher liegende 1p-Schale besetzen.

Besonders stabil ist ein Kern, wenn alle Protonen- oder Neutronenschalen vollständig gefüllt oder leer sind. Solche Kerne heißen magische Kerne; ihre Stabilität zeigt sich in vielen Eigenschaften und Messgrößen. Als magische Zahlen werden für Protonen 2, 8, 14, 20, 28, 50 und 82 sowie für Neutronen 2, 8, 14, 20, 28, 50, 82 und 126 angegeben. Die Zahl 14 gilt nach neueren Erkenntnissen als magisch, wird in Lehrbüchern aber meist noch nicht als magisch aufgeführt.

Kerne, bei denen sowohl die Protonenzahl als auch die Neutronenzahl magisch ist, heißen doppelt magisch. Beispiele sind Helium-4 mit 2 Protonen und 2 Neutronen sowie Calcium-48 mit 20 Protonen und 28 Neutronen.

Die magischen Zahlen unterscheiden sich von den entsprechenden Zahlen in der Atomhülle. Im Atom bilden zwei Elektronen in 1s die erste Schale; acht weitere Elektronen in 2s und 2p bilden die nächste. Im Kern bilden dagegen zwei Protonen oder zwei Neutronen in 1s die erste Schale, während sechs weitere Teilchen in 1p folgen. Ursache sind unter anderem die unterschiedliche Potentialform und die besonders starke Spin-Bahn-Kopplung im Kern. Diese ist absolut und relativ viel größer als bei Elektronen, vor allem bei großen Werten von ℓ.

Ein Beispiel liefert das 1f-Niveau mit ℓ = 3. Zusammen mit der Spinquantenzahl s = 1/2 sind die Gesamtdrehimpulse j = ℓ ± s möglich, also j = 5/2 und j = 7/2. Das Niveau mit j = 7/2 liegt energetisch deutlich tiefer als das mit j = 5/2. Sind alle Zustände mit j = 7/2 besetzt, entsteht bei der Zahl 28 eine besonders stabile Konfiguration. Entsprechend gehen die magischen Zahlen 50, 82 und 126 auf Spin-Bahn-Kopplungen der 1g-, 1h- und 1i-Orbitale zurück.

Kernspin und Parität

Das Schalenmodell kann für viele Nuklide den Kernspin und die Parität des Grundzustands richtig vorhersagen. Kerne mit gerader Protonenzahl und gerader Neutronenzahl, sogenannte gg-Kerne, besitzen im Grundzustand Spin 0 und positive Parität: Jᴾ = 0⁺. Die Erklärung ist, dass sich wegen der anziehenden Kräfte im Kern möglichst je zwei Protonen beziehungsweise je zwei Neutronen in einem Orbital paaren. Ihr gemeinsamer Spin ist dann 0 und ihre Parität positiv. Dies steht im Gegensatz zur Besetzung von Elektronenorbitalen, bei der sich Elektronen wegen ihrer gegenseitigen Abstoßung zunächst auf verschiedene Orbitale verteilen.

Bei Kernen mit ungerader Protonen- oder Neutronenzahl, also ug- oder gu-Kernen, bestimmt im Schalenmodell das ungepaarte, „überzählige“ Nukleon die Quantenzahlen des Kerns. In der Nähe der magischen Zahl 20 beobachtet man unterhalb von 20 die Quantenzahlen 3/2⁺. Sie entsprechen einem Nukleon im Zustand 1d₃/₂. Oberhalb von 20 treten die Quantenzahlen 7/2⁻ auf, entsprechend einem Nukleon im Zustand 1f₇/₂.

Beispiele für Kerne mit 3/2⁺ sind die ug-Kerne ³⁵₁₇Cl₁₈, ³⁷₁₇Cl₂₀, ³⁹₁₉K₂₀ und ⁴¹₁₉K₂₂ sowie die gu-Kerne ³³₁₆S₁₇, ³⁵₁₈S₁₉, ³⁵₁₈Ar₁₇ und ³⁷₁₈Ar₁₉. Beispiele für 7/2⁻ sind die ug-Kerne ⁴⁵₂₁Sc₂₄, ⁴⁷₂₁Sc₂₆, ⁴⁹₂₃V₂₆ und ⁵¹₂₃V₂₈ sowie die gu-Kerne ³⁹₁₈Ar₂₁, ⁴¹₁₈Ar₂₃, ⁴¹₂₀Ca₂₁ und ⁴³₂₀Ca₂₃.

Je weiter die Nukleonenzahl von einer magischen Zahl entfernt ist, desto weniger ausgeprägt sind die Übereinstimmungen zwischen Vorhersage und Beobachtung. Bei doppelt-ungeraden Kernen koppeln die Quantenzahlen der beiden ungepaarten Nukleonen. Der mögliche Gesamtspin ergibt sich durch vektorielle Addition, ist aber weniger gut vorhersagbar. Das Vorzeichen der Parität lässt sich dagegen besser bestimmen. Beispiele sind ³⁸₁₉K₁₉ mit den Quantenzahlen 3⁺ und ⁴⁰₁₉K₂₁ mit den Quantenzahlen 4⁻.

Restwechselwirkung und Erweiterungen

Für Kerne mit Valenznukleonen außerhalb geschlossener Schalen reicht die Beschreibung durch ein mittleres Potential nicht aus. Valenznukleonen sind Nukleonen außerhalb der vollständig besetzten Schalen. Zusätzlich wird deshalb eine effektive Nukleon-Nukleon-Restwechselwirkung zwischen diesen Teilchen in den Hamiltonoperator aufgenommen. Sie ist an die Wechselwirkung freier Nukleonen mit realistischen Wechselwirkungspotentialen angelehnt, aber nicht mit ihr identisch, weil der Zustandsraum der Valenznukleonenkonfigurationen, in dem der Hamiltonoperator diagonalisiert wird, beschränkt ist.

Thomas Kuo und Gerald „Gerry“ Brown führten 1966 erstmals erfolgreich Schalenmodellberechnungen mit einer solchen, aus einem realistischen Nukleon-Nukleon-Potential abgeleiteten Wechselwirkung für die Kerne ¹⁸O und ¹⁸F aus. Beide können als doppelt magischer Kern ¹⁶O mit zwei zusätzlichen Valenznukleonen betrachtet werden. Es war der erste Versuch, Eigenschaften der Kernstruktur mit einer realistischen Potentialform zu berechnen, die aus der freien Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung abgeleitet war. Verwendet wurde das Hamada-Johnston-Potential sowie für die effektive Restwechselwirkung der G-Matrix-Formalismus von Keith Brueckner.

Wenn man auf ein mittleres Feld für alle Nukleonen, also auch für die Nukleonen in geschlossenen Schalen, verzichtet, erhält man die Ab-initio-Methode des Schalenmodells „ohne Kern“ (No-core shell model). Auch dabei werden effektive Zweiteilchenwechselwirkungen verwendet, die an realistische Potentiale freier Nukleonen wie das Bonn-Potential angelehnt sind. Zusätzlich müssen jedoch Dreiteilchenwechselwirkungen berücksichtigt werden.

Entwicklung des Modells

Das Schalenmodell wurde erstmals 1932 von Dmitri Iwanenko und Jewgeni Gapon vorgeschlagen. Maria Goeppert-Mayer sowie unabhängig davon J. Hans D. Jensen mit Otto Haxel und Hans E. Suess arbeiteten es 1949 aus. Goeppert-Mayer und Jensen erhielten dafür 1963 den Nobelpreis für Physik.

Dass das Modell trotz der starken Nukleon-Nukleon-Kraft sinnvoll anwendbar ist, wurde ab 1955 durch Keith Brueckner und andere verständlicher. Sie entwickelten Näherungslösungen für das Vielkörperproblem.

Bereits in den 1950er Jahren wurden auch kollektive Effekte, etwa die Rotation von Kernen, berücksichtigt. Dazu verwendete man ein in Ellipsenform deformiertes Potential; dieses erweiterte Schalenmodell heißt nach Sven Gösta Nilsson Nilsson-Modell.

Aage Bohr, Ben Mottelson und James Rainwater entwickelten das Schalenmodell weiter. Sie erhielten 1975 jeweils zu einem Drittel den Nobelpreis für Physik für die Entdeckung des Zusammenhangs zwischen kollektiver Bewegung und Teilchenbewegung in Atomkernen sowie für die Entwicklung der Theorie der Kernstruktur auf dieser Grundlage.