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Satz von Varignon
Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm, welches (auch) als Varignon-Parallelogramm …
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Kernaussage
Der Satz von Varignon, auch Satz vom Mittenviereck genannt, beschreibt eine Eigenschaft jedes Vierecks: Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seiten, entsteht ein Parallelogramm. Dieses wird Varignon-Parallelogramm genannt. Das aus den Seitenmittelpunkten gebildete Viereck ist das Mittenviereck.
Beweis im ebenen Viereck
Sei ABCD ein Viereck. E, F, G und H seien die Mittelpunkte der Seiten. Betrachtet man das Dreieck ABC und führt eine zentrische Streckung mit Zentrum B und Streckfaktor ½ durch, wird A auf E und C auf F abgebildet. Bei einer zentrischen Streckung sind Bildgerade und Urgerade parallel. Daher gilt AC ∥ EF.
Auf dieselbe Weise folgt aus dem Dreieck ADC, dass AC ∥ GH. Wegen der Transitivität der Parallelitätsrelation gilt damit EF ∥ HG. Analog zeigt man, dass auch die beiden anderen Seiten des Vierecks EFGH parallel zueinander sind. EFGH besitzt somit zwei Paare paralleler Seiten und ist nach der Definition ein Parallelogramm.
Folgerungen zu Umfang und Fläche
Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Längen der beiden Diagonalen des ursprünglichen Vierecks.
Die Fläche des Varignon-Parallelogramms beträgt die Hälfte der Fläche des ursprünglichen Vierecks.
Räumlicher Fall und Zusatz
Der Satz von Varignon gilt auch für jedes beliebige Viereck im Anschauungsraum. Dabei spielt es keine Rolle, ob das Viereck eben oder konvex ist. Auch die Aussage über den Umfang gilt stets: Der Umfang des Varignon-Parallelogramms entspricht der Summe der Diagonalenlängen des ursprünglichen Vierecks.
Für ein konvexes Viereck gilt zusätzlich: Der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken zwischen jeweils gegenüberliegenden Seitenmitten halbiert stets die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden Diagonalen.
