Potenzturm

Begriff und Zweck

Ein Potenzturm ist ein Ausdruck, bei dem der Exponent einer Potenz selbst wieder eine Potenz ist. Auch deren Exponent kann erneut als Potenz dargestellt werden, sodass mehrere Basen übereinander einen „Turm“ bilden. Potenztürme werden vor allem in der Zahlentheorie verwendet, um extrem große Zahlen übersichtlich und verkürzt darzustellen.

Ein Beispiel ist 2^(1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376) = 2^(2^100). Mit zunehmender Größe wird die gewöhnliche Dezimalschreibweise schnell unpraktisch. Beim Turm 2^(2^(2^(2^(2^2)))) ergibt die schrittweise Auswertung 2^(2^(2^(2^4))) = 2^(2^(2^16)) = 2^(2^65.536). Bereits der Exponent der äußersten Zweierpotenz hätte in Dezimalschreibweise 19.728 Stellen.

Reihenfolge der Berechnung

Potenztürme werden nach der üblichen Konvention von oben nach unten ausgewertet, also beginnend mit der höchsten Potenz. Deshalb bedeutet 2^(3^4) der Ausdruck 2^(3^4) = 2^81 = 2417851639229258349412352.

Er darf nicht als (2^3)^4 verstanden werden. Diese andere Klammerung ergäbe 8^4 = 2^12 = 4096. Die Auswertungsrichtung ist daher entscheidend, weil unterschiedliche Klammerungen zu völlig verschiedenen Ergebnissen führen.

Auch Potenztürme stoßen als Schreibweise an Grenzen: Besitzt ein Turm zu viele Stufen, um sie einzeln aufzuschreiben, können alternative Darstellungen wie der Hyper-Operator verwendet werden.

Endliche Türme als Folge

Ein endlicher Potenzturm mit n gleichen Basen x wird in der Pfeilschreibweise als x ↑↑ n geschrieben. Dabei gilt x ∈ ℝ≥0 und n ∈ ℕ. Der Ausdruck enthält n Kopien von x.

Formal entspricht er dem n-ten Glied a_n(x) einer rekursiv definierten Folge. „Rekursiv“ bedeutet, dass jedes neue Folgenglied mithilfe des vorherigen bestimmt wird:

a_n(x) := x für n = 1, a_n(x) := x^(a_(n−1)(x)) für n > 1.

Diese Folge (a_n(x)) heißt Partialturmfolge. Ähnlich wie bei einer unendlichen Reihe wird sie mit dem unendlichen Potenzturm verbunden.

Unendliche Potenztürme und Konvergenz

Ein unendlicher Potenzturm wird über den Grenzwert seiner Partialturmfolge definiert. Ist (a_n(x)) konvergent, nähert sie sich also einem festen Grenzwert A(x), dann heißt auch der unendliche Potenzturm konvergent. Man schreibt:

x ↑↑ ∞ = x^(x^(x^(…))) = A(x).

Leonhard Euler erkannte, dass ein solcher Potenzturm für x ∈ ℝ≥0 genau dann konvergiert, wenn

e^(−e) = 1/e^e ≈ 0,065988 ≤ x ≤ e^(1/e) ≈ 1,444668.

Außerhalb dieses Intervalls konvergiert die durch die angegebene Partialturmfolge definierte reelle Folge nicht.

Funktion des Grenzwerts

Die Grenzwerte der konvergenten unendlichen Potenztürme bilden die Funktion

A: [e^(−e), e^(1/e)] → [1/e, e], A(x) = x^(x^(x^(…))).

Diese Funktion ist streng monoton wachsend: Für größere Werte von x innerhalb des Definitionsbereichs ist auch A(x) größer. Außerdem ist sie bijektiv, ordnet also jedem Wert des Zielintervalls [1/e, e] genau einen Wert aus [e^(−e), e^(1/e)] zu.

Ihre Umkehrfunktion lautet

A⁻¹: [1/e, e] → [e^(−e), e^(1/e)], A⁻¹(x) = x^(1/x).