Pierpont-Primzahl

Begriff und Bedeutung

Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl p der Form p = 2^u·3^v + 1, wobei u,v ∈ ℕ₀, also nichtnegative ganze Zahlen, sind. Gleichwertig dazu ist p − 1 „3-glatt“: Seine Primfaktoren sind höchstens 3, sodass p − 1 ausschließlich aus Potenzen von 2 und 3 besteht.

Pierpont-Primzahlen sind insbesondere für geometrische Konstruktionen wichtig. Mit ihnen lässt sich genau beschreiben, welche regelmäßigen Polygone sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, wenn zusätzlich ein Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung erlaubt ist.

Beispiele und Spezialfälle

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457 und 3889.

Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist 3·2^10.829.346 + 1. Sie besitzt 3.259.959 Dezimalstellen; ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.

Für die Exponenten gelten wichtige Spezialfälle:

• Ist u = 0 und v > 0, so ist 3^v + 1 eine gerade Zahl größer als 2 und daher zusammengesetzt. In diesem Fall entstehen keine Pierpont-Primzahlen.
• Ist u > 0 und v = 0, so muss u eine Zweierpotenz sein. Die entstehende Pierpont-Primzahl ist dann eine Fermat-Primzahl.
• Sind u > 0 und v > 0, so besitzt jede Pierpont-Primzahl die Form 6k + 1.

Verteilung

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen unter 10, 100, 1000, … beginnt mit 4, 10, 18, 25, 32, 42, 50, 58, 65, 72, 78, 83, 93, 106, 114, 125 und 139. Unter den Grenzen 10^1, 10^2, 10^4, 10^8, … lauten die entsprechenden Anzahlen 4, 10, 25, 58, 125, 250, 505, 1020, 2075, 4227, 8597 und 17213.

Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt; dies wird im Artikel somit als Vermutung und nicht als bewiesene Aussage behandelt. Pierpont-Primzahlen unterliegen vergleichsweise wenigen Bedingungen aus algebraischen Faktorisierungen. Anders als bei Mersenne-Primzahlen muss beispielsweise kein Exponent selbst eine Primzahl sein. Vermutet wird, dass es O(log N) Pierpont-Primzahlen kleiner als N gibt. Für Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich wird dagegen O(log log N) angegeben.

Geometrische Anwendungen

Ein regelmäßiges Polygon mit N Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn

N = 2^m·3^n·p₁·…·pₖ

gilt. Dabei sind p₁,…,pₖ mit k ∈ ℕ₀ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als 3.

Die nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren regelmäßigen Polygone bilden einen Spezialfall: Für sie gilt n = 0, und p₁,…,pₖ sind verschiedene Fermat-Primzahlen. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist 11. Deshalb ist das regelmäßige Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das sich nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldreiteilung konstruieren lässt. Alle anderen regelmäßigen n-Ecke mit 3 ≤ n ≤ 21 sind mit Zirkel, Lineal und gegebenenfalls einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruierbar.

Auch in der Mathematik des Papierfaltens tritt dieselbe Bedingung auf. Die Huzita-Axiome beschreiben sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen aus, jedes regelmäßige Polygon zu bilden, dessen Seitenzahl N die angegebene Form besitzt.

Beziehungen und Verallgemeinerungen

Bei der Suche nach Faktoren von Fermat-Zahlen wurden Pierpont-Primzahlen gefunden, für die

k·2^n + 1 teilt 2^(2^m) + 1.

Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, wenn k eine Dreierpotenz ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl. Angegebene Beispiele sind m = 38, k = 3 und n = 41, entdeckt 1903 von Cullen, Cunningham und Western, sowie m = 63, k = 9 und n = 67, entdeckt 1956 von Robinson. Die Tabelle enthält weitere Funde bis zum 2011 gemeldeten Fall m = 2543548, k = 9 und n = 2543551.

Eine Pierpont-Primzahl der 2. Art ist eine Primzahl der Form 2^u·3^v − 1. Die Folge beginnt mit 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127 und 191.

Allgemeiner betrachtet man k verschiedene, aufsteigend geordnete Primzahlen p₁,p₂,…,pₖ. Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl besitzt die Form

p₁^n₁·p₂^n₂·…·pₖ^nₖ + 1;

eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2. Art entsteht entsprechend mit −1. In beiden Fällen muss p₁ = 2 sein, während alle weiteren pᵢ ungerade Primzahlen sind. Wäre 2 nicht enthalten, wäre das Produkt der ungeraden Primzahlpotenzen ungerade. Nach Addition oder Subtraktion von 1 entstünde eine gerade Zahl, die nicht prim sein könnte. Zu den im Artikel aufgeführten Primzahlmengen gehören unter anderem {2}, {2,3}, {2,5}, {2,3,5}, {2,7} und {2,3,5,7}; die gewöhnlichen Pierpont-Primzahlen entsprechen dabei der Menge {2,3} mit dem Pluszeichen.