Perspektive Zuordnung

Grundidee

Eine perspektive Zuordnung ist ein Begriff der projektiven Geometrie. Sie beschreibt in einer projektiven Ebene eine besondere Beziehung zwischen eindimensionalen Grundgebilden. Solche Grundgebilde sind vor allem eine Punktreihe, also alle Punkte einer Geraden, und ein Geradenbüschel, also alle Geraden durch einen festen Punkt.

Im einfachsten Fall wird eine Punktreihe von einem Punkt aus auf eine andere Punktreihe projiziert. Dabei ordnet man jedem Punkt der ersten Geraden den Schnittpunkt der Verbindungsgeraden mit einer zweiten Geraden zu. Auch eine Punktreihe und ein Geradenbüschel oder zwei Geradenbüschel können perspektiv zugeordnet werden. Eine projektive Zuordnung entsteht, wenn endlich viele perspektive Zuordnungen hintereinander ausgeführt werden. Sind zwei Grundgebilde so verbunden, sagt man, sie liegen perspektiv beziehungsweise projektiv zueinander.

Punktreihe und Geradenbüschel

Die einfachste perspektive Zuordnung verbindet eine Punktreihe auf einer Geraden a mit dem Geradenbüschel durch einen Punkt Z, der nicht auf a liegt. Formal wird sie geschrieben als Δ(a,Z): a ∋ P ↦ (P+Z) ∋ Z. Jedem Punkt P auf a wird also die Verbindungsgerade P+Z zugeordnet.

Diese Zuordnung ist in jeder projektiven Ebene wohldefiniert und bijektiv. Wohldefiniert bedeutet: Die Zuordnung ist eindeutig festgelegt. Bijektiv bedeutet: Jeder Punkt erhält genau eine Gerade und jede Gerade des Büschels gehört zu genau einem Punkt der Punktreihe.

Daraus folgt, dass in jeder projektiven Ebene alle Punktreihen untereinander und mit allen Geradenbüscheln inzidenzisomorph sind, also dieselbe Inzidenzstruktur besitzen. Insbesondere haben ihre Punkt- beziehungsweise Geradenmengen die gleiche Mächtigkeit. Für endliche Ebenen heißt das: Jede Gerade enthält gleich viele Punkte v₁ = q+1, jedes Büschel gleich viele Geraden b₁ = q+1, also v₁ = b₁. Eine endliche projektive Ebene ist damit ein symmetrischer 2-(q²+q+1,q+1,1)-Blockplan; q ist die Ordnung der Ebene.

In speziellen Arten projektiver Ebenen lassen sich weitere Strukturen übertragen: In papposschen Ebenen gibt es eine Korrelation zur dualen Ebene, in desarguesschen Ebenen kann ein Doppelverhältnis zwischen Punktreihen und Punktbüscheln übertragen werden, in angeordneten Ebenen eine Anordnung, und in topologischen projektiven Ebenen sind Punktbüschel und Punktreihen homöomorph.

Zwei Punktreihen

Eine perspektive Zuordnung zwischen zwei Punktreihen auf Geraden a und b entsteht, wenn beide von demselben Zentrum Z aus verbunden werden. Voraussetzung ist, dass Z auf keiner der beiden Geraden liegt. Die Zuordnung wird beschrieben durch π = π(a,Z,b) := (Δ(b,Z))⁻¹ ∘ Δ(a,Z). Direkt formuliert gilt: π(a,Z,b)(A)=B genau dann, wenn A ∈ a und B = (A+Z) ∩ b.

Das bedeutet: Ein Punkt A auf a wird auf den Schnittpunkt der Geraden A+Z mit b abgebildet. Diese zentralperspektive Zuordnung kann unter bestimmten Bedingungen zu einer Kollineation der ganzen Ebene fortgesetzt werden. In einer desarguesschen Ebene existiert mindestens eine Projektivität, die π fortsetzt; sie kann als Perspektivität mit Zentrum Z gewählt werden. Wenn zusätzlich das Fano-Axiom gilt, kann ihre Achse aus zwei verschiedenen Punkt-Bildpunkt-Paaren konstruiert werden, solange darunter nicht der Fixpunkt F = a ∩ b ist, für den π(F)=F gilt.

In einer beliebigen projektiven Ebene ist π(a,Z,b) zu einer Kollineation fortsetzbar, wenn Z in der Lenz-Barlotti-Figur der Ebene zu einem Paar (c,Z) mit c nicht aus {a,b} gehört. Diese Kollineation muss nicht eindeutig sein. Ist Z ein Fernpunkt, dann ergibt sich auf den affinen Teilen der Punktreihen eine bijektive Parallelprojektion. Solche Parallelprojektionen spielen in der synthetischen affinen Geometrie eine zentrale Rolle.

Für geordnete Tupel kollinearer Punkte wird die perspektive Lage mit einer Relation notiert, zum Beispiel (A₁,A₂,A₃) perspektiv zu (B₁,B₂,B₃), gegebenenfalls mit dem Zentrum Z über dem Relationssymbol. Die projektive Lage entsteht als transitive Fortsetzung über endlich viele Zentren. Dabei ist die Reihenfolge der Punkte wichtig. Im Allgemeinen muss es für zwei perspektiv oder projektiv bezogene n-Tupel keine Kollineation geben, die das eine Tupel auf das andere abbildet; in desarguesschen Ebenen ist dies für projektiv bezogene n-Tupel jedoch immer der Fall.

Zwei Geradenbüschel

Dual zur perspektiven Zuordnung zweier Punktreihen gibt es die perspektive Lage zweier Geradenbüschel. Dabei liegen die Geraden durch einen Punkt Y perspektiv zu den Geraden durch einen Punkt Z, vermittelt durch eine Achse a. Die Achse darf keinen der Punkte Y oder Z enthalten.

Die Zuordnung lautet Π(Y,a,Z) := Δ(a,Z) ∘ (Δ(a,Y))⁻¹. Selbständig definiert wird sie durch Π(Y,a,Z)(g) = (g ∩ a)+Z für jede Gerade g durch Y. Man schneidet also eine Gerade g des ersten Büschels mit der Achse a und verbindet diesen Schnittpunkt mit Z. So erhält man die zugeordnete Gerade des zweiten Büschels.

Für diese axialperspektive Zuordnung gelten die dualen Aussagen zu den Aussagen über zwei Punktreihen. Auch hier kann man Tupel von Geraden betrachten, zum Beispiel Tripel (g₁,g₂,g₃) und (h₁,h₂,h₃), und ihre perspektive oder projektive Lage mit entsprechenden Relationssymbolen notieren.

Kegelschnitt und Oval

Eine Punktreihe kann auch perspektiv auf einen nichtausgearteten Kegelschnitt oder auf ein Oval bezogen werden. In einer papposschen projektiven Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, kann jeder nichtausgeartete Kegelschnitt perspektiv und bijektiv auf eine Punktreihe einer Geraden a bezogen werden, sofern a nicht durch das Zentrum Z geht.

Liegt Z auf dem Kegelschnitt k, so ordnet π = π(a,Z,k) jedem Punkt P der Punktreihe den Schnittpunkt von P+Z mit k zu, der von Z verschieden ist. Falls die Schnittmenge nur Z enthält, wird Z selbst zugeordnet. Die besondere Gerade Z+Z ist die Tangente t an k im Punkt Z, weil sie einen doppelt zählenden Schnittpunkt mit k hat.

Dass diese Zuordnung bijektiv ist, wird im Artikel durch drei Punkte begründet: Jede Gerade durch Z außer der Tangente schneidet den Kegelschnitt noch einmal; keine Gerade kann den Kegelschnitt mehr als zweimal treffen, sonst wäre der Kegelschnitt ausgeartet; und jeder Punkt Q ≠ Z des Kegelschnitts liegt auf einer Verbindungsgeraden mit Z, die wiederum a schneidet.

Für ein Oval in einer papposschen Ebene mit Fano-Axiom gilt dieselbe Art der perspektiven Zuordnung. Ist die Ebene endlich, enthält der Kegelschnitt oder das Oval genau q+1 Elemente, wobei q die Ordnung der Ebene ist. Auf einem solchen Objekt lassen sich durch Wahl von Z und a eindimensionale Koordinaten einführen. In einer topologischen projektiven Ebene ist es homöomorph zu jeder projektiven Geraden; speziell ist eine Gerade in einer topologischen projektiven Ebene ein topologischer Kreis.

Projektive Zuordnungen und Hauptsatz

Eine projektive Zuordnung ist eine Verkettung endlich vieler perspektiver Zuordnungen zwischen Punktreihen zweier verschiedener projektiver Geraden. Jede perspektive Zuordnung ist daher auch projektiv, aber nicht jede projektive Zuordnung ist selbst perspektiv. Bei einer Verkettung πₙ ∘ ... ∘ π₁ darf die erste und letzte Gerade auch dieselbe sein.

Der in der Geometrie der Lage des 19. Jahrhunderts sogenannte Hauptsatz der projektiven Geometrie lautet: Eine Projektivität ist bestimmt, wenn drei Punkte einer Geraden und die entsprechenden drei Punkte der anderen Geraden gegeben sind. Dabei bedeutet „Projektivität“ hier eine projektive Zuordnung, nicht unbedingt eine Kollineation der ganzen Ebene. Außerdem müssen die beiden Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen, und die drei Punkte sind als geordnete Tripel zu verstehen: Es ist wesentlich, welcher Punkt welchem entspricht.

Modern wird dies als Axiom P7′ formuliert: Sind a und b verschiedene Geraden einer projektiven Ebene und sind A₁,A₂,A₃ ∈ a sowie B₁,B₂,B₃ ∈ b jeweils Tripel verschiedener Punkte, dann existiert genau eine projektive Zuordnung π: a → b, sodass die beiden Tripel bezüglich dieser Zuordnung projektiv aufeinander bezogen sind.

Äquivalent dazu sind weitere Formen: P7 besagt für zwei Tripel verschiedener Punkte auf derselben Geraden, dass es höchstens eine projektive Zuordnung π: a → a mit dieser Entsprechung gibt. P7″ besagt: Sind a und b verschieden, F = a ∩ b, dann ist jede projektive Zuordnung π: a → b, die F fixiert, also π(F)=F, eine perspektive Zuordnung. Diese P7-Aussagen sind in jeder projektiven Ebene äquivalent zu ihren dualen Aussagen über Geradenbüschel und gleichwertig zum Satz von Pappos (PA).