Normales Element

Begriff und Definition

In der Mathematik heißt ein Element einer -Algebra normal, wenn es mit seinem Adjungierten kommutiert. Das Adjungierte eines Elements a wird mit a bezeichnet; Kommutieren bedeutet, dass die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle spielt. Die genaue Bedingung lautet daher:

aa* = a*a.

Ist 𝒜 eine *-Algebra, so heißt ein Element a ∈ 𝒜 normal, falls diese Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller normalen Elemente wird mit 𝒜_N oder N(𝒜) bezeichnet.

Besonders wichtig ist der Fall einer C*-Algebra. Dabei handelt es sich um eine vollständige normierte -Algebra, die zusätzlich die C-Eigenschaft

‖a*a‖ = ‖a‖² für alle a ∈ 𝒜

erfüllt. In C*-Algebren führen normale Elemente zu wichtigen Aussagen über Norm, Spektrum und Funktionalkalkül.

Beispiele normaler Elemente

Zwei grundlegende Klassen von Elementen sind immer normal:

• Jedes selbstadjungierte Element einer -Algebra ist normal. Selbstadjungiert bedeutet, dass a = a gilt.
• Jedes unitäre Element einer *-Algebra ist normal.

In einer C*-Algebra entstehen aus einem normalen Element weitere normale Elemente: Ist a ∈ 𝒜_N normal und f eine stetige Funktion auf dem Spektrum von a, so ist auch f(a) normal. Diese Aussage folgt aus dem stetigen Funktionalkalkül. Er ermöglicht es, stetige Funktionen auf das Element a anzuwenden.

Kriterien zur Erkennung

Ein Element a ∈ 𝒜 ist genau dann normal, wenn die von a erzeugte *-Unteralgebra kommutativ ist. Die von a erzeugte *-Unteralgebra ist die kleinste *-Unteralgebra, die a enthält. Normalität kann somit daran erkannt werden, dass in diesem kleinsten algebraischen Bereich alle relevanten Elemente miteinander kommutieren.

Eine weitere Charakterisierung verwendet die Zerlegung in Real- und Imaginärteil. Jedes Element a ∈ 𝒜 lässt sich eindeutig schreiben als

a = a₁ + i a₂,

wobei a₁ und a₂ selbstadjungierte Elemente aus 𝒜_sa sind und i die imaginäre Einheit bezeichnet. Genau dann ist a normal, wenn Real- und Imaginärteil kommutieren:

a₁a₂ = a₂a₁.

Damit lässt sich die Gleichung aa* = a*a auch über zwei selbstadjungierte Bestandteile prüfen.

Eigenschaften in - und C-Algebren

Ist a ∈ 𝒜_N ein normales Element einer -Algebra 𝒜, so ist auch das adjungierte Element a normal. Der Grund ist, dass a = (a*)* gilt und die Involution * diese Beziehung erhält.

Für ein normales Element a einer C*-Algebra gelten zusätzliche Normeigenschaften. Es gilt

‖a²‖ = ‖a‖².

Für normale Elemente folgt dies aus der C*-Eigenschaft und der Rechnung

‖a²‖² = ‖(a²)(a²)‖ = ‖(aa)(aa)‖ = ‖a*a‖² = (‖a‖²)².

Jedes normale Element ist außerdem normaloid. Das bedeutet, dass sein Spektralradius r(a), also der Spektralradius des Elements, genau seiner Norm entspricht:

r(a) = ‖a‖.

Diese Gleichheit folgt aus der Spektralradiusformel durch wiederholtes Anwenden der Eigenschaft ‖a²‖ = ‖a‖².

Schließlich lässt sich für normale Elemente einer C*-Algebra ein stetiger Funktionalkalkül entwickeln. Vereinfacht gesagt können dadurch stetige Funktionen auf dem Spektrum von a in das Element a eingesetzt werden. Das Ergebnis wird als f(a) bezeichnet und ist bei normalem a wiederum normal.