Neilsche Parabel

Definition und Darstellungen

Die Neil’sche Parabel, auch semikubische Parabel genannt, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve. Sie wird durch die Gleichung y² − a²x³ = 0 mit a > 0 beschrieben. Der Parameter a bestimmt die konkrete Parabel.

Nach y aufgelöst erhält man die explizite Darstellung y = ± ax^(3/2) für x ≥ 0. Diese Form erklärt die Bezeichnung „semikubisch“, weil die dritte Potenz von x eine zentrale Rolle spielt. Zum Vergleich wird eine gewöhnliche Parabel durch y = ax² beschrieben.

Nach x aufgelöst lautet die Gleichung x = (y/a)^(2/3) für y ∈ ℝ. Besonders wichtig ist die Parameterdarstellung

• x = t²,
• y = at³,
• t ∈ ℝ.

Für positive und negative Werte von t entstehen die beiden Äste der Kurve. Die Neil’sche Parabel ist rational. Das bedeutet, dass es eine rationale Abbildung mit einer inversen rationalen Abbildung gibt, die die Kurve auf die projektive Gerade abbildet.

Ähnlichkeit und Singularität

Jede Neil’sche Parabel mit der Parameterdarstellung (t², at³) ist zur Neil’schen Einheitsparabel (u², u³) ähnlich. Die Ähnlichkeitsabbildung

(x, y) → (a²x, a²y)

ist eine Streckung am Ursprung. Sie führt (t², at³) in

((at)², (at)³) = (u², u³)

über, wobei u = at gilt.

Die Parameterdarstellung ist überall außer im Punkt (0,0) regulär. Eine Kurve heißt an einem Punkt regulär, wenn ihr Tangentenvektor dort nicht der Nullvektor ist. Der Tangentenvektor lautet (2t, 3t²)ᵀ. Nur für t = 0 wird daraus der Nullvektor. Deshalb besitzt die Neil’sche Parabel im Nullpunkt eine Singularität, genauer: eine Spitze.

Tangenten und Schnittpunkt

Für die Neil’sche Einheitsparabel y = ±x^(3/2) erhält man durch Differentiation die Tangente in einem Punkt (x₀, y₀) des oberen Astes. Ihre Gleichung ist

y = (√x₀/2)(3x − x₀).

Diese Tangente schneidet die Kurve in genau einem weiteren Punkt des unteren Astes. Dieser Punkt hat die Koordinaten

(x₀/4, −y₀/8).

Beim Nachrechnen muss berücksichtigt werden, dass (x₀, y₀) ein doppelter Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve ist. Die Tangente hat also algebraisch insgesamt einen zweifachen Schnitt an ihrem Berührungspunkt und zusätzlich den angegebenen Schnittpunkt am unteren Ast.

Bogenlänge

Die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve (x(t), y(t)) wird durch das Integral

∫ √(x′(t)² + y′(t)²) dt

bestimmt. Für die Neil’sche Parabel (t², at³) im Bereich 0 ≤ t ≤ b ergibt sich

∫₀ᵇ √(x′(t)² + y′(t)²) dt = ∫₀ᵇ t√(4 + 9a²t²) dt = [1/(27a²) · (4 + 9a²t²)^(3/2)]₀ᵇ.

Zur Berechnung kann die Substitution u = 4 + 9a²t² verwendet werden. Die Kurve ist damit ein Beispiel für eine algebraische Kurve, deren Bogenlänge sich exakt berechnen lässt. William Neile hatte diese Kurve erstmals rektifiziert, also ihre Bogenlänge berechnet, und dies 1657 bekannt gemacht.

Für a = 1, also für die Neil’sche Einheitsparabel, und die obere Grenze b = 2 bis zum Punkt (4,8) beträgt die Länge 9,073.

Evolute, Polarkoordinaten und projektive Beziehung

Die Evolute der Parabel (t², t) ist eine in x-Richtung um 1/2 verschobene Neil’sche Parabel. Ihre Darstellung lautet

(1/2 + t², 4/(√3)³ · t³).

Für die Darstellung der Neil’schen Parabel (t², at³) in Polarkoordinaten betrachtet man die Ursprungsgerade y = mx. Für m ≠ 0 besitzt sie neben dem Nullpunkt genau einen weiteren Schnittpunkt mit der Kurve, nämlich

(m²/a², m³/a²).

Sein Abstand vom Nullpunkt ist (m²/a²)√(1 + m²). Mit m = tan φ und sec²φ = 1 + tan²φ folgt die Polardarstellung

r = (tan φ/a)² · sec φ,

wobei −π/2 < φ < π/2 gilt.

Die Neil’sche Einheitsparabel (t², t³) ist außerdem projektiv äquivalent zur kubischen Parabel y = x³. Die projektive Abbildung

(x, y) → (x/y, 1/y)

bildet (t², t³) auf (1/t, 1/t³) und damit auf y = x³ ab. Dabei werden die Spitze im Nullpunkt und der Fernpunkt der y-Achse vertauscht.

In homogenen Koordinaten erhält man aus y² − x³ = 0 durch x = x₁/x₃ und y = x₂/x₃ sowie Multiplikation mit x₃³ die Gleichung

x₃x₂² − x₁³ = 0.

Wählt man anschließend die Gerade x₂ = 0 als Ferngerade und setzt x = x₁/x₂ sowie y = x₃/x₂, entsteht erneut die affine Kurve y = x³.