Mittlere molare Masse

Begriff und Definition

Die mittlere molare Masse, Formelzeichen M̄, überträgt den Begriff der molaren Masse von Reinstoffen auf Stoffgemische und Mischphasen, zum Beispiel Lösungen. Sie gibt die Gesamtmasse eines Gemisches bezogen auf dessen Gesamtstoffmenge an und ist damit eine molare Größe.

Für einen einzelnen Reinstoff i ist die molare Masse Mi als Quotient aus Masse mi und Stoffmenge ni definiert: Mi = mi / ni. Für ein Gemisch gilt entsprechend: M̄ = m / n. Dabei sind m die Gesamtmasse und n die Gesamtstoffmenge. Besteht das Gemisch aus Z Komponenten, ergeben sich diese Größen aus den Summen der Einzelmassen und Einzelstoffmengen: m = Σ(z=1 bis Z) mz und n = Σ(z=1 bis Z) nz.

Bei der Festlegung der Stoffmenge muss angegeben werden, welche Teilchen betrachtet werden. Möglich sind Atome, Moleküle, Ionen oder Formeleinheiten. Von dieser Festlegung hängt die Gesamtstoffmenge und damit auch die mittlere molare Masse ab. Die SI-Einheit ist kg/mol; in der Praxis wird meist g/mol verwendet.

Die mittlere molare Masse ist ein mit Stoffmengenanteilen xz beziehungsweise den gleich großen Teilchenzahlanteilen Xz gewichteter Mittelwert der molaren Massen der Komponenten: M̄ = Σ(xz · Mz) = Σ(Xz · Mz). Gleichwertig kann sie über die Teilchenzahlen Nz geschrieben werden: M̄ = Σ(Nz · Mz) / ΣNz. Allgemein gilt auch M̄ = [Σ(nz · Mz)] / [Σnz].

Bei Polymeren beschreibt die mittlere molare Masse eine Kenngröße der Molmassenverteilung. Dazu werden die molaren Massen aller vorkommenden Kettenlängen gemittelt. Die hier definierte Form wird zahlengewichtete mittlere Molmasse oder Zahlenmittel der Molmasse genannt, um sie von Mittelwerten mit anderer Gewichtung zu unterscheiden.

Beziehungen zu Gehaltsgrößen

Die mittlere molare Masse kann mit den nach DIN 1310 definierten Gehaltsgrößen eines Stoffgemisches oder einer Mischphase berechnet werden. Dabei bezeichnet Mz die molare Masse und ρz die Dichte des jeweiligen Reinstoffs bei gleichem Druck und gleicher Temperatur wie im Gemisch. ρ ohne Index ist die Dichte der Mischphase. Der Index z läuft über alle Z Komponenten. Die Avogadro-Konstante ist NA ≈ 6,022 · 10²³ mol⁻¹.

Für Anteile gelten folgende Beziehungen:

• Über den Massenanteil wz: M̄ = 1 / Σ(wz / Mz). • Über den Stoffmengenanteil xz: M̄ = Σ(xz · Mz). • Über den Teilchenzahlanteil Xz: M̄ = Σ(Xz · Mz). • Über den Volumenanteil φz: M̄ = [Σ(φz · ρz)] / [Σ(φz · ρz / Mz)].

Für Konzentrationen gelten:

• Bei der Massenkonzentration βz: M̄ = ρ / Σ(βz / Mz). • Bei der Stoffmengenkonzentration cz: M̄ = ρ / Σcz. • Bei der Teilchenzahlkonzentration Cz: M̄ = NA · ρ / ΣCz. • Bei der Volumenkonzentration σz: M̄ = ρ / Σ(σz · ρz / Mz).

Für Verhältnisse ergeben sich:

• Beim Massenverhältnis ζzi: M̄ = [Σζzi] / [Σ(ζzi / Mz)]. • Beim Stoffmengenverhältnis rzi: M̄ = [Σ(rzi · Mz)] / [Σrzi]. • Beim Teilchenzahlverhältnis Rzi: M̄ = [Σ(Rzi · Mz)] / [ΣRzi]. • Beim Volumenverhältnis ψzi: M̄ = [Σ(ψzi · ρz)] / [Σ(ψzi · ρz / Mz)].

Für den Quotienten Stoffmenge/Masse gibt es zwei weitere Beziehungen. Mit der Molalität bi, wobei i der gelöste Stoff und j das Lösungsmittel ist, gilt: M̄ = xi / (bi · wj). Mit der spezifischen Partialstoffmenge qz gilt: M̄ = 1 / Σqz.

Beispiel Luft

Luft ist ein Gasgemisch der Erdatmosphäre. Die Hauptkomponenten sind Stickstoff mit N₂-Molekülen und Sauerstoff mit O₂-Molekülen. Außerdem enthält Luft schwankende Mengen Wasserdampf mit H₂O-Molekülen sowie vor allem Argon mit Ar-Atomen und Kohlendioxid mit CO₂-Molekülen.

Für trockene Luft, also ohne den variablen Wasserdampfanteil, können die tabellierten mittleren Volumenanteile auf Meereshöhe bei näherungsweiser Betrachtung als Gemisch idealer Gase den Stoffmengenanteilen x beziehungsweise den Teilchenzahlanteilen X gleichgesetzt werden. Die Anteile betragen ungefähr: N₂ 78,08 %, O₂ 20,94 %, Ar 0,93 % und CO₂ 0,04 %. Weitere Spurengase wie Neon werden vernachlässigt.

Die mittlere molare Masse wird als gewichteter Mittelwert berechnet: M̄trockene Luft ≈ 0,7808 · 28,01 g·mol⁻¹ + 0,2094 · 32,00 g·mol⁻¹ + 0,0093 · 39,95 g·mol⁻¹ + 0,0004 · 44,01 g·mol⁻¹ ≈ 28,96 g·mol⁻¹.

In der Realität ist Luft nicht vollständig trocken. Durch den zusätzlichen Wasserdampf wird ihre mittlere molare Masse etwas kleiner. Gründe sind die entsprechend kleineren Stoffmengenanteile der übrigen Gase und die geringere molare Masse von H₂O mit 18,02 g·mol⁻¹.

Beispiel Mischelemente

Mischelemente sind chemische Elemente, die in der Natur als Gemisch mehrerer Isotope vorkommen. Für sie werden mittlere molare Massen beziehungsweise zahlenwertgleiche mittlere relative Atommassen angegeben und in Rechnungen verwendet.

Natürliches Magnesium Mg besteht in der Erdhülle aus den Isotopen Mg-24, Mg-25 und Mg-26. Ihre Stoffmengenanteile beziehungsweise Teilchenzahlanteile betragen 78,99 %, 10,00 % und 11,01 %. Mit den molaren Massen der Isotope ergibt sich: M̄Mg = 0,7899 · 23,9850 g·mol⁻¹ + 0,1000 · 24,9858 g·mol⁻¹ + 0,1101 · 25,9826 g·mol⁻¹ = 24,305 g·mol⁻¹.

Bei genauer Betrachtung können die Isotopenzusammensetzungen je nach Herkunft des Materials leicht unterschiedlich sein. Deshalb werden teilweise Werteintervalle angegeben. Für Magnesium gelten beispielsweise xMg-24 = [0,7888; 0,7905], xMg-25 = [0,09988; 0,10034] und xMg-26 = [0,1096; 0,1109]. Daraus folgt für die mittlere molare Masse das Intervall [24,304; 24,307] g·mol⁻¹.

Enthält eine chemische Verbindung ein oder mehrere Mischelemente, kann auch für diese Verbindung genau genommen nur eine mittlere molare Masse oder ein Werteintervall angegeben werden. In der Praxis wird dies häufig nicht ausdrücklich gekennzeichnet. Eine Ausnahme sind gezielt hergestellte isotopenreine Versionen der Elemente. Auch die Stoffe des Luftbeispiels bestehen ausschließlich aus Mischelementen; ihre molaren Massen sind daher genau genommen ebenfalls mittlere molare Massen.