Leistungssatz

Grundidee des Leistungssatzes

Der Leistungssatz der Mechanik ist eine Verallgemeinerung des Energiesatzes. Er beschreibt, wie die kinetische Energie Eₖᵢₙ eines Systems durch die an ihm angreifenden Leistungen verändert wird. Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie ist zu jedem Zeitpunkt gleich der Summe aller Leistungen:

dEₖᵢₙ/dt = Σ Pᵢ.

Die Leistungen werden in konservative und nicht-konservative Leistungen aufgeteilt:

dEₖᵢₙ/dt = Σ Pᵢ,ₖ + Σ Pᵢ,ₙₖ.

Konservative Leistungen können beispielsweise zur Änderung der potentiellen Energie beitragen. Nicht-konservative Leistungen stammen etwa von Reibungs- oder Dämpferkräften. Bei ihnen wird Energie dissipiert, also beispielsweise durch Reibung abgegeben.

Leistung einer Kraft und eines Momentes

Die Leistung einer vektoriellen Kraft F⃗ ist definiert als

P_F = F⃗ · v⃗_F.

Dabei ist v⃗_F die Geschwindigkeit des Kraftangriffspunktes. Als Merksatz gilt: Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit.

Wirkt die Kraft genau in Richtung der Geschwindigkeit ihres Angriffspunktes, vereinfacht sich das Skalarprodukt zum Produkt der Beträge:

P_F = |F⃗| · |v⃗_F|.

Dadurch müssen die Vektorkomponenten nicht einzeln behandelt werden.

Für ein vektorielles Moment M⃗ gilt entsprechend:

P_M = M⃗ · ω⃗.

ω⃗ ist die Winkelgeschwindigkeit des Momentenangriffspunktes. Die Formel lässt sich auf die Leistung einer Kraft zurückführen. Ein Moment kann als Kreuzprodukt aus Hebelarm r⃗ und Kraft F⃗ geschrieben werden:

M⃗ = r⃗ × F⃗.

Für einen Punkt eines rotierenden Körpers gilt außerdem:

v⃗ = ω⃗ × r⃗.

Auch bei einem Moment hat die Leistung daher in anderer Darstellung die Bedeutung „Kraft mal Geschwindigkeit“.

Herleitung einer Bewegungsgleichung

Der Leistungssatz kann nach dem Freischneiden eines Systems verwendet werden. Dazu werden zunächst alle unbekannten Kräfte und Momente sowie die Geschwindigkeiten der jeweiligen Kraftangriffspunkte berechnet. Anschließend lässt sich aus dem Leistungssatz die Bewegungsgleichung für einen unbekannten Freiheitsgrad bilden.

Der Freiheitsgrad kann eine Koordinate oder ein Winkel sein. Er muss lediglich im Ausdruck dEₖᵢₙ/dt vorkommen. Dafür werden die kinetischen Einzelenergien des Systems addiert. Diese können aus translatorischen und rotatorischen Bewegungen stammen und werden als Funktion des einen Freiheitsgrades betrachtet. Der daraus erhaltene Ausdruck wird anschließend nach der Zeit abgeleitet.

Wichtig ist, dass das System für diese Anwendung genau einen Freiheitsgrad besitzen muss. Bei mehr als einem Freiheitsgrad wäre nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Energien auf die einzelnen Freiheitsgrade verteilen. Für Systeme mit mehr als einem Freiheitsgrad wird daher der Lagrange-Formalismus zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen verwendet.

Spezialfall: nur konservative Leistungen

Wirken auf ein System ausschließlich konservative Leistungen, ist die Summe der nicht-konservativen Leistungen gleich null. Dann gilt

dEₖᵢₙ/dt = Σ Pᵢ,ₖ + 0.

Nach der Definition der zeitlichen Änderung der potentiellen Energie gilt

dEₚₒₜ/dt = −Σ Pᵢ,ₖ.

Durch Einsetzen folgt der Energiesatz der Mechanik:

dEₖᵢₙ/dt + dEₚₒₜ/dt = 0.

Integration nach der Zeit ergibt die bekannte Erhaltungsform:

Eₖᵢₙ + Eₚₒₜ = const.

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt in diesem Spezialfall konstant.