Konvexer Kegel – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Ein konvexer Kegel ist eine Menge in einem Vektorraum, die unter Linearkombinationen mit positiven Koeffizienten abgeschlossen ist. Solche Kombinationen heißen konische Kombinationen. Für beliebige x, y ∈ C und α, β > 0 aus einem angeordneten Körper 𝕂 gilt dann αx + βy ∈ C. Meist ist 𝕂 = ℝ.

Gleichwertig lässt sich ein konvexer Kegel als eine Menge beschreiben, die zugleich konvex und ein Kegel ist, oder als ein Kegel, der für beliebige x, y ∈ C auch x + y enthält. Konvexe Kegel sind besonders in der konischen Optimierung wichtig.

Hülleneigenschaften und Ordnung

Schnitte beliebiger Familien konvexer Kegel sind wieder konvexe Kegel. Daher bilden die konvexen Kegel ein Hüllensystem.

Die konische Hülle, auch positive Hülle genannt, wird mit pos(X) bezeichnet. Sie ordnet jeder Menge X den kleinsten konvexen Kegel zu, der X enthält. Damit ist pos der Hüllenoperator des Hüllensystems der konvexen Kegel.

Jeder konvexe Kegel bestimmt außerdem eine Ordnungsrelation auf dem Vektorraum, in dem er liegt. In diesem Zusammenhang wird der Kegel als Ordnungskegel bezeichnet.

Kegel über der Einheitssphäre

Für eine Teilmenge Ω ⊆ Sⁿ⁻¹ der Einheitssphäre Sⁿ⁻¹ = {x ∈ ℝⁿ | ‖x‖ = 1} heißt

C(Ω) = {rv | v ∈ Ω, r ∈ ℝ₍₊₎}

der Kegel über Ω. Jeder Kegel K ⊆ ℝⁿ besitzt diese Form, wenn Ω = K ∩ Sⁿ⁻¹ gewählt wird.

Geometrisch ist ein Kegel K ⊆ ℝⁿ genau dann konvex, wenn sein Durchschnitt mit jedem Großkreis der Einheitssphäre zusammenhängend ist. Ein Großkreis ist dabei der Schnitt der Sphäre mit einer zweidimensionalen Ebene durch den Ursprung.

Weitere Kegelbegriffe und Charakterisierung

Ein Kegel C ⊆ ℝⁿ heißt polyedrisch, wenn es eine Matrix A gibt mit C = {x ∈ ℝⁿ | Ax ≤ 0}. Genau dann ist ein Kegel polyedrisch, wenn er von einer endlichen Menge von Vektoren erzeugt wird.

Ein Kegel K heißt regulär, wenn aus a ∈ K und −a ∈ K stets a = 0 folgt. Seine Automorphismengruppe ist Aut(K) = {A ∈ GL(n, ℝ) | AK = K}. Ein Kegel heißt homogen, wenn diese Gruppe transitiv auf K wirkt. Er heißt symmetrisch, wenn es zu jedem x ∈ K eine Involution A ∈ Aut(K) gibt, die x als einzigen Fixpunkt besitzt. Symmetrische konvexe Kegel sind stets homogen.

Ein Kegel K ⊆ ℝⁿ heißt reduzibel, wenn er als K = K₁ + K₂ geschrieben werden kann, wobei K₁ ⊆ ℝᵖ × {0}ⁿ⁻ᵖ, K₂ ⊆ {0}ᵖ × ℝⁿ⁻ᵖ und 0 < p < n gilt. Andernfalls heißt er irreduzibel.

Der duale Kegel zu K ⊆ ℝⁿ ist K* = {a ∈ ℝⁿ | für alle b ∈ K gilt ⟨b,a⟩ ≥ 0}. Ein Kegel heißt selbstdual, wenn K = K* gilt. Ein konvexer Kegel ist genau dann symmetrisch, wenn er offen, regulär, homogen und selbstdual ist.

Koecher-Vinberg-Satz und Klassifikation

Der positive Kegel einer Jordan-Algebra ist die Menge ihrer Elemente mit positivem Spektrum. Eine Jordan-Algebra A heißt formal reell, wenn sich 0 ∈ A nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. In einer formal reellen Jordan-Algebra gehört ein Element genau dann zum positiven Kegel, wenn es ein Quadrat ist.

Der Satz von Koecher-Vinberg besagt, dass die Bildung des positiven Kegels eine Bijektion zwischen formal reellen Jordan-Algebren und symmetrischen konvexen Kegeln herstellt. Deshalb werden symmetrische konvexe Kegel auch Positivitäts-Gebiete (englisch: domain of positivity) genannt.

Die Klassifikation nach Max Koecher aus dem Jahr 1965 verwendet die Klassifikation formal reeller Jordan-Algebren. Die irreduziblen symmetrischen konvexen Kegel in ℝⁿ sind:

der Lorentz-Kegel Λₙ = {x ∈ ℝⁿ | x₁² − x₂² − … − xₙ² > 0, x₁ > 0};
der Kegel Πₘ(ℝ) der positiven symmetrischen m × m-Matrizen für n = (m² + m)/2;
der Kegel Πₘ(ℂ) der positiven hermiteschen komplexen m × m-Matrizen für n = m²;
der Kegel Πₘ(ℍ) der positiven hermiteschen quaternionischen m × m-Matrizen für n = 2m² − m;
für n = 27 der Kegel Π₃(O), für den Lie(Aut(Π₃(O))) = 𝔢₆₍₋₂₆₎ ⊕ ℝ gilt.